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解：（1）对于方程$x^2 - (k + 2)x + 2k = 0，$其判别式$\Delta = (k + 2)^2 - 4×1×2k，$化简可得$\Delta = k^2 + 4k + 4 - 8k = k^2 - 4k + 4 = (k - 2)^2。$因为任何数的平方都大于等于$0，$即$(k - 2)^2 \geq 0，$所以方程有两个实数根。
（2）解方程$x^2 - (k + 2)x + 2k = 0，$可因式分解为$(x - 2)(x - k) = 0，$则方程的两个根为$x = 2$或$x = k。$
因为$\triangle ABC$为等腰三角形，一边长$a = 1，$另两边长$b$、$c$是方程的两个根，所以分两种情况讨论：
情况一：当$a = 1$为腰长时，则$b$、$c$中有一个为$1，$即方程的一个根为$1。$若$k = 1，$则方程的两个根为$1$和$2，$此时三角形的三边长分别为$1，$$1，$$2。$但$1 + 1 = 2，$不满足三角形任意两边之和大于第三边，所以不能构成三角形，此情况舍去。
情况二：当$a = 1$为底边时，则$b = c，$即方程有两个相等的根，所以$k = 2，$此时方程的两个根都为$2，$三角形的三边长分别为$1，$$2，$$2。$因为$1 + 2 ＞ 2，$$2 + 2 ＞ 1，$满足三角形三边关系，能构成三角形。
综上，$\triangle ABC$的周长为$1 + 2 + 2 = 5。$
答：（1）方程有两个实数根；（2）$\triangle ABC$的周长为$5。$
解：$3x^2=12x$$3x^2-12x=0$$3x(x-4)=0$$x=0$或$x-4=0$$x_1=0，$$x_2=4$
解：$2(x-3)^2=3x-9$$2(x-3)^2-3(x-3)=0$$(x-3)(2x-9)=0$$x-3=0$或$2x-9=0$$x_1=3，$$x_2=\frac{9}{2}$
解：$(3x+1)^2=4(x-2)^2$$(3x+1)^2-4(x-2)^2=0$$(3x+1+2x-4)(3x+1-2x+4)=0$$(5x-3)(x+5)=0$$5x-3=0$或$x+5=0$$x_1=\frac{3}{5}，$$x_2=-5$
解：$(x-1)(x+2)=10$$x^2+x-2=10$$x^2+x-12=0$$(x+4)(x-3)=0$$x+4=0$或$x-3=0$$x_1=-4，$$x_2=3$
解：$3x^2-12x=0$
3x(x-4)=0
x=0或x-4=0
$ x_1=0，$$x_2=4$
解：$2(x-3)^2-3(x-3)=0$
(x-3)(2x-9)=0
x-3=0或2x-9=0
$ x_1=3，$$x_2=\frac 92$
解：$(3x+1)^2-4(x-2)^2=0$
(3x+1+2x-4)(3x+1-2x+4)=0
(5x-3)(x+5)=0
5x-3=0或x+5=0
$ x_1=\frac 35，$$x_2=-5$
解：$x^2+x-2=10$
$       x^2+x-12=0$
  (x+4)(x-3)=0
 x+4=0或x-3=0
$ x_1=-4，$$x_2=3$
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