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【答案】：
$10-5\sqrt{2}$.

【解析】：
设$DF = x\ cm$，则$BE = DF = x\ cm$。
因为四边形$AEQP$是正方形，$AB = 10\ cm$，所以$AE = AB - BE = 10 - x\ cm$，即正方形$AEQP$的边长为$10 - x\ cm$，其面积为$(10 - x)^2\ cm^2$。
矩形$ABCD$中，$AD = BC = 15\ cm$，$AP = AE = 10 - x\ cm$，所以$PF = AD - AP - DF = 15 - (10 - x) - x = 5\ cm$。
因为四边形$PGHF$是正方形，所以其边长为$PF = 5\ cm$，面积为$5^2 = 25\ cm^2$。
原矩形面积为$AB × BC = 10 × 15 = 150\ cm^2$，余下部分面积是原矩形面积的一半，所以剪去的两个正方形面积之和为$150 - \frac{150}{2} = 75\ cm^2$。
可得方程：$(10 - x)^2 + 25 = 75$，即$(10 - x)^2 = 50$，解得$10 - x = \pm 5\sqrt{2}$。
因为边长不能为负，所以$10 - x = 5\sqrt{2}$（$10 - x = -5\sqrt{2}$舍去），则$x = 10 - 5\sqrt{2}$。
$10 - 5\sqrt{2}$

【答案】：
解：设相遇处距离目标C x海里.
依题意得，$( 200+200-x ) ^2=9[100^2+( 100-x ) ^2]$
解得，$x_1=25，$$x_2=100$
答：相遇处距离目标C 25海里或100海里.

【解析】：
以A为原点，正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向建立直角坐标系。则A(0,0)，B(0,-200)，C(200,-200)，D为AC中点，坐标为(100,-100)。
设补给船速度为v，军舰速度为3v，相遇时间为t。
军舰从A到B需时间$\frac{200}{3v}$。
情况1：军舰在B到C途中相遇（$t ＞ \frac{200}{3v}$），此时军舰坐标为$(3v(t - \frac{200}{3v}), -200) = (3vt - 200, -200)$。
补给船坐标为$(100 + v t \cos\theta, -100 + v t \sin\theta)$，因相遇时坐标相同，可得：
$\begin{cases}3vt - 200 = 100 + v t \cos\theta \\-200 = -100 + v t \sin\theta\end{cases}$
由第二个方程得$v t \sin\theta = -100$，第一个方程得$v t \cos\theta = 3vt - 300$。
又$(v t \cos\theta)^2 + (v t \sin\theta)^2 = (vt)^2$，代入得：
$(3vt - 300)^2 + (-100)^2 = (vt)^2$
令$s = vt$，则$(3s - 300)^2 + 10000 = s^2$，解得$s = 100$或$s = 125$。
当$s = 100$时，$t = \frac{100}{v} ＜ \frac{200}{3v}$（舍去，此时军舰未到B）；当$s = 125$时，$t = \frac{125}{v} ＞ \frac{200}{3v}$，军舰横坐标为$3s - 200 = 175$，距离C为$200 - 175 = 25$ n mile。
情况2：军舰在A到B途中相遇（$t \leq \frac{200}{3v}$），军舰坐标为$(0, -3vt)$，补给船坐标为$(100 + v t \cos\theta, -100 + v t \sin\theta)$，相遇时：
$\begin{cases}0 = 100 + v t \cos\theta \\-3vt = -100 + v t \sin\theta\end{cases}$
解得$s = vt = 100$，$t = \frac{100}{v} ＜ \frac{200}{3v}$，军舰横坐标为0，距离C为200 n mile（但题目明确“军舰在由目标B到目标C的途中与补给船相遇”，此情况舍去）。
综上，相遇处距离目标C 25 n mile。
25 n mile