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3 cm或21 cm
解：连接OC，
∵OE⊥CD且$CD = 600\,\text{m}，$
∴$CF=\frac{1}{2}CD = 300\,\text{m}。$
设$OC=OE=x\,\text{m}，$则$OF=OE - EF=(x - 90)\,\text{m}。$
在Rt△OCF中，由勾股定理得：
$OC^2=OF^2 + CF^2，$
即$x^2=(x - 90)^2 + 300^2，$
解得$x = 545。$
∴这段弯路的半径为$545\,\text{m}。$
答：这段弯路的半径为$545\,\text{m}。$
解：作$CE \perp AD，$垂足为点$E，$连接$CD。$
在$Rt\triangle ACB$中，$AC = 1，$$BC = 2\sqrt{2}，$
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2 + BC^2}=\sqrt{1^2+(2\sqrt{2})^2}=\sqrt{1 + 8}=3。$
因为$\triangle ABC$的面积$=\frac{1}{2}AC \cdot BC=\frac{1}{2}AB \cdot CE，$
所以$CE=\frac{AC \cdot BC}{AB}=\frac{1 \times 2\sqrt{2}}{3}=\frac{2\sqrt{2}}{3}。$
在$Rt\triangle CDE$中，$CD = CA = 1，$$CE=\frac{2\sqrt{2}}{3}，$
由勾股定理得：$DE=\sqrt{CD^2 - CE^2}=\sqrt{1^2 - (\frac{2\sqrt{2}}{3})^2}=\sqrt{1 - \frac{8}{9}}=\sqrt{\frac{1}{9}}=\frac{1}{3}。$
因为$CE \perp AD，$且$CD = CA，$所以$CE$垂直平分$AD，$
则$AD = 2DE = 2 \times \frac{1}{3}=\frac{2}{3}。$
因此$BD = AB - AD = 3 - \frac{2}{3}=\frac{7}{3}。$
答：$BD$的长为$\frac{7}{3}。$
解：连接OA，如图所示：
因为P是AB的中点，
所以OP⊥AB，AP=BP。
在Rt△OAP中，OA=13，OP=5，
所以AP=$\sqrt{OA^2-OP^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12，$
所以AB=2AP=2×12=24。

【答案】：
$3\ \mathrm {cm}$或$21\ \mathrm {cm}$

【解析】：
情况一：AB、CD在圆心O同侧
过O作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连接OA、OC。
OA=OC=15 cm，AE=9 cm，CF=12 cm。
OE=$\sqrt{OA^2-AE^2}=\sqrt{15^2-9^2}=12$ cm，
OF=$\sqrt{OC^2-CF^2}=\sqrt{15^2-12^2}=9$ cm，
距离：OE-OF=12-9=3 cm。
情况二：AB、CD在圆心O两侧
距离：OE+OF=12+9=21 cm。
3 cm 或 21 cm
【答案】：
解：连接OC,
∵OE⊥CD且$CD=600\,\,m$
∴$CF=\frac{1}{2}CD=300\,\,m$
设$OC=OE=\,\,x\,\,m，$则$OF=OE-EF=\left( x-90 \right) \,\,m$
在Rt△OCF中，
$ OC^2=OF^2+CF^2$
∴$x^2=\left( x-90 \right) ^2+300^2$
解得，x=545
∴$OC=OE=545\,\,m$
答：这段弯路的半径为$545\,\,m.$


【解析】：
设这段弯路的半径为$ R $米，则$ OC = OE = R $米。
因为$ OE \perp CD $，$ CD = 600 $米，所以$ CF = \frac{1}{2}CD = 300 $米，$ OF = OE - EF = (R - 90) $米。
在$ Rt\triangle OCF $中，由勾股定理得：$ OC^2 = CF^2 + OF^2 $，即$ R^2 = 300^2 + (R - 90)^2 $。
展开得：$ R^2 = 90000 + R^2 - 180R + 8100 $。
移项化简得：$ 180R = 98100 $，解得$ R = 545 $。
这段弯路的半径为$ 545 $米。
【答案】：
解：作CE⊥AD，垂足为点E，连接CD，
在Rt△ACB中，AC=1，$BC=2\sqrt{2}$
∴$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=3$
∴$CE=\frac {AC×BC}{AB}=\frac {2\sqrt{2}}{3}$
在Rt△CDE中，
∵CD=CA=1，$CE=\frac {2\sqrt{2}}{3}$
∴$DE=\sqrt{CD^2-CE^2}=\frac {1}{3}$
∵CE⊥AD
∴$AD=2DE=\frac {2}{3}$
∴$BD=AB-AD=3-\frac {2}{3}=\frac {7}{3}$


【解析】：
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=2√2，由勾股定理得AB=√(AC²+BC²)=√(1²+(2√2)²)=3。
过点C作CE⊥AB于点E，根据三角形面积公式，S△ABC=1/2×AC×BC=1/2×AB×CE，即1/2×1×2√2=1/2×3×CE，解得CE=2√2/3。
在Rt△ACE中，AE=√(AC²-CE²)=√(1²-(2√2/3)²)=1/3。
因为CA=CD=1，CE⊥AD，所以AD=2AE=2/3。
则BD=AB-AD=3-2/3=7/3。
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