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第53页

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 解：连接AE，

 ∵∠DOE=60°，

 ∴∠DAE=$\frac{1}{2}$∠DOE=30°（同弧所对的圆周角是圆心角的一半）。

 ∵AB为⊙O的直径，

 ∴∠AEB=90°（直径所对的圆周角是直角）。

 ∵∠AEB+∠AEC=180°（平角的定义），

 ∴∠AEC=180°-∠AEB=180°-90°=90°。

 在△AEC中，∠C=180°-∠AEC-∠DAE=180°-90°-30°=60°。

 故∠C的度数为60°。

 证明：连接$AD，$

 ∵$AC$为$\odot O$直径，

 ∴$\angle ADC = 90^\circ，$

 ∴$\angle DAC + \angle ACD = 90^\circ。$

 ∵$\angle EBC = \angle DEC，$且$\angle DEC = \angle DAC$（同弧所对的圆周角相等），

 ∴$\angle EBC = \angle DAC，$

 ∴$\angle EBC + \angle ACD = 90^\circ。$

 在$\triangle BGC$中，$\angle BGC = 180^\circ - (\angle EBC + \angle ACD) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ，$

 ∴$AC \perp BH。$

【答案】：
解：连接AE，
∵∠DOE=60°
∴$∠DAE=\frac {1}{2}∠DOE=30°$
∵AB为$\odot O$的直径
∴∠AEB=90°
∴∠AEC=90°
∴∠C=180°-∠AEC-∠DAE=180°-90°-30°=60°

【解析】：
解：连接AD、BE。
∵OA=OD=OE=OB，
∴∠OAD=∠ODA，∠OBE=∠OEB。
设∠OAD=∠ODA=α，∠OBE=∠OEB=β。
则∠AOD=180°-2α，∠BOE=180°-2β。
∵∠DOE=60°，且∠AOD+∠DOE+∠BOE=180°，
∴(180°-2α)+60°+(180°-2β)=180°，
化简得α+β=120°。
在△ABC中，∠C=180°-(∠CAD+∠CBE)=180°-(α+β)=60°。
60°

证明：连接AD，
∵AC为$\odot O$直径
∴∠ADC=90°
∴∠DAC+ACD=90°
∵∠EBC=∠DEC=∠DAC
∴∠EBC+ACD=90°
∴∠BGC=180°-( ∠EBC+∠ACD ) =90°
∴AC⊥BH