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155°
50°
证明：连接AC，BC。
∵ 四边形ABCM为⊙O的内接四边形，
∴ ∠AMC + ∠B = 180°。
∵ ∠AMC + ∠FMC = 180°，
∴ ∠B = ∠FMC。
∵ AB是直径，AB⊥CD，
∴ ∠ACB = ∠CEB = 90°，
∴ ∠B + ∠BCE = ∠BCE + ∠ACE = 90°，
∴ ∠B = ∠ACE。
∵ ∠B = ∠FMC，∠ACE = ∠AMD，
∴ ∠AMD = ∠FMC。
证明：
∵四边形ABCD内接于圆，
∴∠A+∠BCD=180°，
∵∠BCD+∠BCF=180°，
∴∠BCF=∠A，
∵FM平分∠BFC，
∴∠BFN=∠CFN，
∵∠EMP=∠A+∠BFN，∠PNE=∠BCF+∠CFN，
∴∠EMP=∠PNE，
∴EM=EN，
∵PE平分∠MEN，
∴PE⊥PF．
【答案】：
155°

【解析】：
连接AE。
∵$\widehat{AB}$的度数为50°，
∴∠AEB=$\frac{1}{2}$×50°=25°。
∵四边形ACDE内接于⊙O，
∴∠C+∠AED=180°。
∵∠AED=∠AEB+∠E，
∴∠C+∠AEB+∠E=180°，
∴∠C+∠E=180°-∠AEB=180°-25°=155°。
155°
【答案】：
50°

【解析】：
在△ABE和△ADF中，∠E=42°，∠F=38°，设∠A=x。
因为∠ADC是△ADF的外角，所以∠ADC=∠A+∠F=x+38°。
因为∠ABC是△ABE的外角，所以∠ABC=∠A+∠E=x+42°。
由于四边形ABCD是⊙O的内接四边形，所以∠ADC+∠ABC=180°。
即(x+38°)+(x+42°)=180°，
2x+80°=180°，
2x=100°，
x=50°。
50°
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