第73页

信息发布者：
270°
12π
6
90°
2π
$ 2π-2\sqrt3 $
解：
∵$CD$是$⊙O$的直径，
∴$∠CBD=90°，$
∵$⊙O$的半径为$R，$$AB⊥CD，$
∴$OC=OD=OB=R，$$BC=BD=\sqrt{OC^2 + OB^2}=\sqrt{R^2 + R^2}=\sqrt{2}R，$
$S_{△CBD}=\frac{1}{2}×CD×OB=\frac{1}{2}×2R×R=R^2，$
∵以点$B$为圆心，$BC$为半径画$\overset{\frown}{CED}，$
∴扇形$CBD$的半径为$BC=\sqrt{2}R，$圆心角$∠CBD=90°=\frac{π}{2}$弧度，
$S_{扇形CBD}=\frac{1}{2}×\frac{π}{2}×(\sqrt{2}R)^2=\frac{π}{2}R^2，$
$S_{半圆ACD}=\frac{1}{2}πR^2，$
阴影区域面积$S=S_{半圆ACD}-(S_{扇形CBD}-S_{△CBD})=\frac{1}{2}πR^2 - (\frac{π}{2}R^2 - R^2)=R^2。$
【答案】：
（1）270°,12π；（2）6；（3）90°；（4）2π,2π-2√3

【解析】：

(1)设扇形圆心角为$n^{\circ}$，由弧长公式$l = \frac{n\pi r}{180}$，得$6\pi=\frac{n\pi×4}{180}$，解得$n = 270$；面积$S=\frac{1}{2}lr=\frac{1}{2}×6\pi×4 = 12\pi$，故答案为$270^{\circ}$，$12\pi$。
(2)设扇形半径为$r$，由面积公式$S=\frac{n\pi r^{2}}{360}$，得$6\pi=\frac{60\pi r^{2}}{360}$，解得$r = 6$，故答案为$6$。
(3)设扇形圆心角为$n^{\circ}$，圆面积$\pi×2^{2}=4\pi$，扇形面积$\frac{n\pi×4^{2}}{360}=4\pi$，解得$n = 90$，故答案为$90^{\circ}$。
(4)等边三角形内角$60^{\circ}$，每个弧长$\frac{60\pi×2}{180}=\frac{2\pi}{3}$，周长$3×\frac{2\pi}{3}=2\pi$；每个弓形面积$\frac{60\pi×2^{2}}{360}-\frac{\sqrt{3}}{4}×2^{2}=\frac{2\pi}{3}-\sqrt{3}$，总面积$3×(\frac{2\pi}{3}-\sqrt{3})=2\pi - 3\sqrt{3}$，故答案为$2\pi$，$2\pi - 2\sqrt{3}$。
【答案】：
$​$解：　　
∵$CD$是$⊙O$的直径，$​$　　
$​$　　
∴$∠CBD=90°，$$​$　　
$​$　　
∴$S_{△CBD}=\frac {1}{2}×CD×OB=\frac {1}{2}×2R×R=R^2，$$​$　　
$​$　　
∵$⊙O$的半径为$R，$$AB⊥CD，$$​$　　
$​$　　
∴$BC=BD=\sqrt{2}R，$$​$　　
$​$　　
∵$CD$是$⊙O$的直径，$​$　　
$​$　　
∴$∠CBD=90°，$$​$　　
$​$　　
∴$S_{扇形CBD}=\frac {1}{2}×\frac {π}{2}×BC^2​$　　
$​=\frac {π}{2}R^2，$$​$　　
$​$　　
∴$S_{阴影ACED}= S_{半圆ACD}-S_{弓形}= S_{半圆ACD}-(S_{扇形CBD}-S_{△CBD})​$　　
$​=\frac {1}{2}πR^2-(\frac {π}{2}R^2-R^2)​$　　
$​=R^2.​$　　

【解析】：
连接BC，BD。
∵AB，CD为⊙O直径且AB⊥CD，⊙O半径为R，
∴OC=OD=OB=R，∠COB=∠DOB=90°，
∴BC=BD=$\sqrt{OC^2+OB^2}=\sqrt{R^2+R^2}=\sqrt{2}R$。
S阴影=S半圆CAD-(S扇形BCE+S扇形BDE-S△CBD)
∵S半圆CAD=$\frac{1}{2}\pi R^2$，
S扇形BCE=S扇形BDE=$\frac{90\pi (\sqrt{2}R)^2}{360}=\frac{1}{2}\pi R^2$，
S△CBD=$\frac{1}{2}CD\cdot OB=\frac{1}{2}×2R× R=R^2$，
∴S阴影=$\frac{1}{2}\pi R^2$-($\frac{1}{2}\pi R^2+\frac{1}{2}\pi R^2-R^2$)=R2。
答：阴影区域的面积S为R2。
上一页 下一页