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第81页

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 证明：

(1)

 ∵E是△ABC的内心，

 ∴∠BAE=∠CAE，∠EBA=∠EBC，

 ∵∠BED=∠BAE+∠ABE，∠DBE=∠EBC+∠DBC，∠DBC=∠EAC，

 ∴∠DBE=∠DEB，

 ∴DB=DE；

 (2)连接CD、OD，

 ∵AD平分∠BAC，

 ∴∠BAD=∠DAC，

 ∴$\overgroup{BD}=\overgroup{CD}，$

 ∴BD=CD，

 ∵BC是直径，

 ∴∠BDC=90°，

 ∴∠DBC=∠DCB=45°，

 ∵FC是切线，

 ∴∠BCF=90°，

 ∴∠DCF=∠BCF - ∠DCB=90° - 45°=45°，

 ∴△CDF是等腰直角三角形，

 ∵DE=DB=3√2，

 ∴OD=OC=3，DF=CD=BD=3√2，

 ∴S_阴=S_{△CDF}-(S_{扇形OCD}-S_{△OCD})

 $=\frac{1}{2}×3\sqrt{2}×3\sqrt{2}-(\frac{90×\pi×3^2}{360}-\frac{1}{2}×3×3)$

 $=\frac{27}{2}-\frac{9\pi}{4}$

 （1）证明：

 ∵∠BCA、∠BDA都是$\overset{\LARGE{\frown}}{AB}$所对的圆周角

 ∴∠BCA=∠BDA

 ∵BD=BA

 ∴∠BAD=∠BDA

 ∴∠BCA=∠BAD

 （2）证明：连接OB，

 ∵OB=OC，BD=BA

 ∴∠BCA=∠CBO，∠BAD=∠BDA

 ∴∠BOC=180°-2∠BCA，∠ABD=180°-2∠BAD

 ∵∠BCA=∠BAD

 ∴∠BOC=∠ABD

 ∵∠ABD、∠ACD都是$\overset{\LARGE{\frown}}{AD}$所对的圆周角

 ∴∠ABD=∠ACD=∠BOC

 ∴CD//OB

 ∵BE⊥CD

 ∴BE⊥OB

 ∴BE是$\odot O$的切线

证明：( 1 ) ∵∠BCA、∠BDA都是$\overset{\LARGE{ \frown}}{AB}$所对的圆周角
∴∠BCA=∠BDA
∵BD=BA
∴BAD=∠BDA
∴∠BCA=∠BAD
( 2 ) 连接OB，
∵OB=OC，BD=BA
∴∠BCA=∠CBO，∠BAD=∠BDA
∴∠BOC=180°-2∠BCA，∠ABD=180°-2∠BAD
∵∠BCA=∠BAD
∴∠BOC=∠ABD
∵∠ABD、∠ACD都是$\overgroup{AD}$所对的圆周角
∴∠ABD=∠ACD=∠BOC
∴CD//OB
∵BE⊥CD
∴BE⊥OB
∴BE是$\odot O$的切线