（1）证明：
因为 $AC = AD，$所以 $\angle ADC = \angle ACD。$
又因为 $\angle ACD = \angle BCE，$所以 $\angle ADC = \angle BCE。$
因为 $OB = OD，$所以 $\angle OBD = \angle ODB。$
因为 $BE = BD，$所以 $\angle BDE = \angle E。$
因为 $AB$ 是 $\odot O$ 的直径，所以 $\angle ADB = 90^\circ，$即 $\angle ODB + \angle ADC = 90^\circ。$
则 $\angle OBD + \angle BCE + \angle E = 90^\circ，$即 $\angle OBD + \angle BDE + \angle E = 90^\circ，$也就是 $\angle OBE = 90^\circ。$
因为 $OB$ 是 $\odot O$ 的半径，且 $OB \perp BE，$所以 $BE$ 是 $\odot O$ 的切线。
（2）解：
设 $\odot O$ 的半径为 $r，$则 $OA = OB = r。$
因为 $OC = 3，$所以 $AC = OA + OC = r + 3，$又因为 $AC = AD，$所以 $AD = r + 3。$
因为 $BE = 6$ 且 $BE = BD，$所以 $BD = 6。$
因为 $AB$ 是 $\odot O$ 的直径，所以 $\angle ADB = 90^\circ。$
在 $Rt\triangle ABD$ 中，根据勾股定理 $AB^2 = AD^2 + BD^2，$其中 $AB = 2r，$$AD = r + 3，$$BD = 6，$则：
$(2r)^2 = (r + 3)^2 + 6^2$
展开得：
$4r^2 = r^2 + 6r + 9 + 36$
移项合并同类项得：
$3r^2 - 6r - 45 = 0$
两边同时除以 3 得：
$r^2 - 2r - 15 = 0$
因式分解得：
$(r - 5)(r + 3) = 0$
解得 $r_1 = 5，$$r_2 = -3$（半径不能为负，舍去）。
所以 $\odot O$ 半径的长为 $5。$
