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m＜1
3
A
C
解：$b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4×2×(-5) = 49＞0，$
∴方程有两个不相等的实数根。
解：$b^2 - 4ac = 3^2 - 4×4×6 = -87＜0，$
∴方程无实数根。
解：$b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4×\frac{1}{3}×(-1) = 9 + \frac{4}{3} = \frac{31}{3}＞0，$
∴方程有两个不相等的实数根。
解：将方程$y - 1 = \frac{1}{4}y^2$化为一般形式为$\frac{1}{4}y^2 - y + 1 = 0，$$b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4×\frac{1}{4}×1 = 1 - 1 = 0，$
∴方程有两个相等的实数根。
(1)证明：$\because \Delta=(m+2)^2-4(2m-1)=(m-2)^2+4\gt 0，$$\therefore$方程有两个不相等的实数根。
(2)解：设方程的两个根分别为$x_1，$$x_2，$其中$a=1，$$b=m+2，$$c=2m-1。$$\because$方程的两个根互为相反数，由根与系数的关系可得$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-(m+2)=0，$$\therefore m=-2。$此时原方程为$x^2+0x+(-4)-1=0，$整理得$x^2-5=0，$解得$x_1=\sqrt{5}，$$x_2=-\sqrt{5}。$
解：
∵关于$x$的一元二次方程$(a - 2)x^2 - 2ax + a + 1 = 0$没有实数根
∴判别式$\Delta = (-2a)^2 - 4(a - 2)(a + 1) ＜ 0，$且二次项系数$a - 2 \neq 0$
计算判别式：
$\begin{aligned}\Delta &= 4a^2 - 4[(a - 2)(a + 1)] \\&= 4a^2 - 4(a^2 + a - 2a - 2) \\&= 4a^2 - 4(a^2 - a - 2) \\&= 4a^2 - 4a^2 + 4a + 8 \\&= 4a + 8\end{aligned}$
由$\Delta ＜ 0$得：$4a + 8 ＜ 0，$解得$a ＜ -2$
∵$a ＜ -2，$
∴$a ＜ 0$
解不等式$ax + 3 ＞ 0$：
移项得$ax ＞ -3$
∵$a ＜ 0，$不等式两边同时除以$a，$不等号方向改变
∴$x ＜ -\frac{3}{a}$
综上，不等式$ax + 3 ＞ 0$的解集为$x ＜ -\frac{3}{a}(a ＜ -2)$
解：设方程$x^2 - 21x + 21a - 1 = 0$的正整数根为$m，$则：
$m^2 - 21m + 21a - 1 = 0$
整理得：$21a = -m^2 + 21m + 1$
∴$a = \frac{-m^2 + 21m + 1}{21} = -\frac{m^2}{21} + m + \frac{1}{21}$
∵$a$为正整数，$m$为正整数
∴$-m^2 + 21m + 1$必须能被$21$整除，即$m^2 \equiv 1 \pmod{21}$
又
∵方程有实根，判别式$\Delta = (-21)^2 - 4(21a - 1) \geq 0$
$\begin{aligned}441 - 84a + 4 &\geq 0 \\445 - 84a &\geq 0 \\84a &\leq 445 \\a &\leq \frac{445}{84} \approx 5.3\end{aligned}$
∴$a$为正整数，$a \leq 5$
分别检验$m$为正整数且$m ＜ 21$（由韦达定理，两根之和为$21，$正整数根$m$满足$1 \leq m \leq 20$）：
当$m = 1$时：$a = \frac{-1 + 21 + 1}{21} = \frac{21}{21} = 1$（正整数，符合）
当$m = 20$时（另一根为$1$）：$a = \frac{-400 + 420 + 1}{21} = \frac{21}{21} = 1$
当$m = 8$时：$m^2 = 64，$$64 \div 21 = 3\cdots1，$即$64 \equiv 1 \pmod{21}$
$a = \frac{-64 + 168 + 1}{21} = \frac{105}{21} = 5$（正整数，符合）
当$m = 13$时（另一根为$8$）：$a = \frac{-169 + 273 + 1}{21} = \frac{105}{21} = 5$
综上，正整数$a$的值为$1$或$5$
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