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解：因为60棵树苗售价为$120\times60 = 7200$元，而$7200\lt8800$元，所以该校购买树苗超过60棵。设该校共购买了$x$棵树苗，由题意得：$x[120 - 0.5(x - 60)]=8800，$解得$x_1 = 220，$$x_2 = 80。$当$x = 220$时，$120-0.5\times(220 - 60)=40\lt100，$所以$x = 220$不合题意，舍去；当$x = 80$时，$120-0.5\times(80 - 60)=110\gt100，$所以$x = 80。$答：该校共购买了80棵树苗。
解：设道路的宽度是$x\ \text{m}，$根据题意可得方程：$(32 - x)(20 - x) = 540，$整理得：$x^2 - 52x + 100 = 0，$解得：$x_1 = 2，$$x_2 = 50$（不合题意舍去），答：道路的宽度是$2\ \text{m}。$
解：根据题意得：
因为方程①$x^{2}+px+n=0$的两个根是$1$和$m + 1，$
由根与系数的关系可得：
$1+(m + 1)=-p$ ①
$1\times(m + 1)=n$ ②
因为方程②$x^{2}+mx+q=0$的两个根是$2$和$n - 1，$
由根与系数的关系可得：
$2+(n - 1)=-m$ ③
$2\times(n - 1)=q$ ④
由②得$n=m + 1，$将其代入③可得：
$2+(m + 1 - 1)=-m$
$2 + m=-m$
$2m=-2$
解得$m=-1$
将$m=-1$代入②得：$n=1\times(-1 + 1)=0$
将$m=-1，$$n=0$代入①得：$1+(-1 + 1)=-p，$即$1 + 0=-p，$解得$p=-1$
将$n=0$代入④得：$q=2\times(0 - 1)=-2$
所以方程$x^{2}+px+q=0$变形为$x^{2}-x - 2=0$
分解因式得$(x - 2)(x + 1)=0$
则$x - 2=0$或$x + 1=0$
解得$x_{1}=2，$$x_{2}=-1$
即方程$x^{2}+px+q=0$的解为$x_{1}=2，$$x_{2}=-1$
(1)根据题意得，销售单价为$x$元时，比40元上涨了$(x - 40)$元，所以少售出$10(x - 40)$件玩具，此时的销售量为$600 - 10(x - 40)$件。每件的利润为$(x - 30)$元，因此销售利润$w=(x - 30)[600 - 10(x - 40)]。$
(2)依题意，令$w = 12000，$则有方程$(x - 30)[600 - 10(x - 40)] = 12000。$
展开括号得：$(x - 30)(600 - 10x + 400) = 12000，$即$(x - 30)(1000 - 10x) = 12000。$
进一步化简：$10(x - 30)(100 - x) = 12000，$两边同时除以10得$(x - 30)(100 - x) = 1200。$
展开左边：$100x - x^2 - 3000 + 30x = 1200，$合并同类项得$-x^2 + 130x - 3000 = 1200。$
移项整理得$x^2 - 130x + 4200 = 0，$因式分解为$(x - 60)(x - 70) = 0，$解得$x_1 = 60，$$x_2 = 70。$
答：玩具销售单价为60元或70元时，可获得12000元销售利润。
(3)由
(1)知$w=(x - 30)[600 - 10(x - 40)]，$化简可得：
$\begin{aligned}w&=(x - 30)(1000 - 10x)\\&=-10x^2 + 1300x - 30000\\&=-10(x^2 - 130x + 4225) + 12250\\&=-10(x - 65)^2 + 12250\end{aligned}$
因为$-10\lt0，$所以该二次函数图象开口向下，当$x = 65$时，$w$取得最大值，$w_{最大}=12250。$
答：当该玩具销售单价为65元时，商场获得最大利润12250元。
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