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55°
10
C
解：因为$AB = AC，$$OA，$$OB，$$OC$均为$\odot O$的半径，所以$OA = OA，$$OB = OC。$
在$\triangle OAB$和$\triangle OAC$中，
$\begin{cases}OA = OA \\OB = OC \\AB = AC\end{cases}$
所以$\triangle OAB \cong \triangle OAC(\text{SSS})，$因此$\angle AOB = \angle AOC。$
因为$\angle AOB + \angle AOC + \angle BOC = 360^\circ，$且$\angle BOC = 110^\circ，$所以$\angle AOB + \angle AOC = 360^\circ - 110^\circ = 250^\circ，$故$\angle AOB = \frac{1}{2} \times 250^\circ = 125^\circ。$
又因为$OB = OA，$所以$\triangle OAB$为等腰三角形，$\angle BAO = \angle ABO。$
由于$\angle BAO + \angle ABO + \angle AOB = 180^\circ，$所以$\angle BAO = \frac{1}{2}(180^\circ - 125^\circ) = 27.5^\circ。$
综上，$\angle BAO$的度数为$27.5^\circ。$
能画出符合结论①②④的已知图形，具体如下：
结论①：当A、B两点在同一条直径上时，过点A或点B的直径最多能画1条。因为此时过A和B的直径是同一条，所以只有1条。
结论②：当A、B两点不在同一条直径上，且都不与圆心重合时，过点A或点B的直径最多能画2条。过A点可画1条直径，过B点可画另1条直径，共2条。
结论④：当A、B两个点中只要有一个点与圆心重合时，过点A或点B的直径最多能画无数条。因为过圆心的直径有无数条。
解：连接OB，对图形中的角进行标注。
因为AB=OE，OE=OB，所以AB=OB，因此∠1=∠A。
因为OB=OE，所以∠E=∠2=∠1+∠A=2∠A。
所以∠EOD=∠E+∠A=3∠A。
因为∠EOD=78°，所以∠A=26°。
所以∠E=2∠A=26°×2=52°。
答：∠E的度数为52°。
证明：过$O$作$OE \perp AB$于$E，$则$AE = BE。$
因为$C$、$D$是$\odot O$的弦$AB$上的三等分点，所以$AC = CD = DB。$
所以$AE - AC = BE - DB，$即$CE = DE。$
因为$OE \perp CD，$所以$OC = OD$（线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等），即$\triangle OCD$是等腰三角形。
所以$\angle OCD = \angle ODC，$因此$\angle ACM = \angle BDN$（等角的补角相等）。
因为$M$、$N$分别是$OC$、$OD$的中点，所以$CM = \frac{1}{2}OC，$$DN = \frac{1}{2}OD，$故$CM = DN。$
在$\triangle ACM$和$\triangle BDN$中，
$\begin{cases} AC = BD \\ \angle ACM = \angle BDN \\ CM = DN \end{cases}$
所以$\triangle ACM \cong \triangle BDN$（SAS）。
因此$AM = BN。$
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