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连接 OA、OB、OC. 根据题意,得∠BOC=2∠BAC=∠BAD. 又∠OAB=∠B,∠OAB+∠BAD=90°,因此∠B+∠BOC=90°,OC⊥AB,$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$
PA是⊙O的切线，理由如下：
连接OP。
∵OC=OP，
∴∠OCP=∠OPC=$\frac{180^\circ-\angle O}{2}=90^\circ-\frac{1}{2}\angle O。$
∵PF⊥OA，
∴∠PFC=90°，
则∠OCP=90°-∠FPC。
∴$90^\circ-\frac{1}{2}\angle O=90^\circ-\angle FPC，$
∴∠FPC=$\frac{1}{2}\angle O。$
∵∠FPC=∠CPA，
∴∠O=2∠FPC=∠FPC+∠CPA=∠APF。
∵PF⊥OA，
∴∠AFP=90°，
∴∠A+∠APF=90°，
∴∠O+∠A=90°。
在△OPA中，∠OPA=180°-（∠O+∠A）=180°-90°=90°，
∴OP⊥PA。
∵OP是⊙O的半径，
∴PA是⊙O的切线。
（1）BC是⊙O的切线，证明如下：
连接OB，
∵C是AD中点且BC//ED，
∴BC是△ADE的中位线，
∴$BC=\frac{1}{2}ED，$
∵DE是⊙O的直径，
∴$ED=2OD，$则$BC=OD，$
∵BC//OD且BC=OD，
∴四边形BCDO为平行四边形，
∵AD是⊙O的切线，
∴OD⊥AD，
∴平行四边形BCDO为矩形，
∴OB⊥BC，
∵OB是⊙O的半径，
∴BC是⊙O的切线。
（2）
∵⊙O的半径为1，
∴OD=1，
由（1）知四边形BCDO为矩形，且OB=OD，
∴四边形BCDO为正方形，
∴CD=OD=1，
∵C是AD的中点，
∴AD=2CD=2。
解：连接OD、OE、OC。
∵⊙O分别与AC、BC相切于点D、点E，
∴OD⊥AC，OE⊥BC，
∴∠ODC=∠OEC=90°。
又
∵∠C=90°，
∴四边形OECD是矩形。
∵OD=OE（均为⊙O的半径），
∴四边形OECD是正方形，
∴CD=CE=OD=OE=r（设⊙O的半径为r）。
∵AC=BC=4，∠C=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=$\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}，$∠A=∠B=45°。
∵四边形OECD是正方形，
∴OD//BC，OE//AC，
∴∠AOD=∠B=45°，∠BOE=∠A=45°，
∴△AOD和△BOE均为等腰直角三角形，
∴AD=OD=r，BE=OE=r，
∴AC=AD+CD=r+r=2r，即2r=4，解得r=2。
∴AD=BE=2，
∴AO=$\sqrt{AD^2+OD^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}，$
BO=$\sqrt{BE^2+OE^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}，$
∴AB=AO+BO=4$\sqrt{2}$（符合题意）。
∵⊙O与AB相交于点F、G，
∴OG=OD=r=2，
∴BG=BO-GO=2$\sqrt{2}$-2。
∵OD//CH（四边形OECD是正方形，OD⊥AC，CH⊥AC），
∴∠H=∠ODG（两直线平行，内错角相等）。
∵OG=OD，
∴∠OGD=∠ODG（等边对等角），
又
∵∠HGB=∠OGD（对顶角相等），
∴∠H=∠HGB，
∴HB=BG=2$\sqrt{2}$-2。
∵BC=4，
∴CH=HB+BC=（2$\sqrt{2}$-2）+4=2$\sqrt{2}$+2。
答：CH的长为$2\sqrt{2}+2。$
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