第60页

信息发布者：
60
90
108
$180°-\frac {360°}{n}$
（1）解：连接OA，OB，过点O作OM⊥AB，垂足为M，如图所示：
∵点O是正方形ABCD外接圆圆心
∴OA=OB
∵四边形ABCD是正方形
∴$OM=\frac{1}{2}AB$
∴$S_{\triangle ABO}=\frac{1}{4}S_{正方形ABCD}$
∵∠AOB=90°
∴∠OAF=∠OBE=45°
又
∵∠A′OC′=90°，∠AOF+∠A′OB=∠A′OB+∠BOE=90°，
∴∠AOF=∠BOE
∴△AOF≌△BOE
∴$S_{\triangle AOF}=S_{\triangle BOE}$
∴重叠部分面积
$=S_{\triangle BOF}+S_{\triangle BOE}=S_{\triangle BOF}+S_{\triangle AOF}$
$=S_{\triangle ABO}$
$=\frac{1}{4}S_{正方形ABCD}$
∴$S_{阴影}=\frac{3}{4}S_{正方形ABCD}$
∴重叠部分面积与阴影部分面积之比为1：3
（2）解：连接OA、OB、OC，设OA′与AB交于点G，OE′与CD交于点H
由正六边形的性质可得∠AOA′=∠COE′，AO=OC，∠OAA′=∠OCE′
∴△AOG≌△COH
∴$S_{\triangle AOG}=S_{\triangle COH}$
∴重叠部分的面积$=S_{\triangle A' BCO}+S_{\triangle COH}=S_{\triangle A' BCO}+S_{\triangle AOG}=S_{四边形OABC}=\frac{1}{3}S_{六边形ABCDEF}$
∴$S_{阴影}=\frac{2}{3}S_{六边形ABCDEF}$
∴重叠部分面积与阴影部分面积之比为1：2
解：当正六边形的边长最大时，其对边之间的距离应等于正方形的边长，此时正六边形的边长等于正方形的边长，即边长为1。
因为正方形$ABCD$的边长为1，根据勾股定理可得其对角线$AC = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}。$
当正六边形的对边与正方形的对角线重合时，点$A$到正六边形顶点$E$的距离最小。此时$AE = \frac{AC - \text{正六边形边长}}{2} = \frac{\sqrt{2} - 1}{2}。$
所以$AE$的最小值为$\frac{\sqrt{2} - 1}{2}。$
上一页 下一页