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解：设大圆半径为$R，$小圆半径为$r。$
因为以$O$为圆心的两个同心圆中，大圆的弦$AB$切小圆于点$C，$
所以$OC \perp AB$（切线垂直于过切点的半径）。
又因为弦$AB$的长为$d，$根据垂径定理，$OC$垂直平分$AB，$
所以$BC = \frac{d}{2}。$
在$Rt\triangle OCB$中，由勾股定理得：$OB^2 = OC^2 + BC^2，$即$R^2 = r^2 + \left(\frac{d}{2}\right)^2，$
因此$R^2 - r^2 = \left(\frac{d}{2}\right)^2。$
圆环面积$S = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi (R^2 - r^2) = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 = \frac{\pi d^2}{4}。$
故圆环面积$S$与$d$之间的数量关系为$S = \frac{\pi d^2}{4}。$
$2\pi - 4$
12π
解：连接$OF。$
因为四边形$CDEF$是正方形，所以$CD = DE = EF，$$\angle CDE = 90^\circ，$$\angle OEF = 90^\circ，$则$\angle CDO = 180^\circ - \angle CDE = 90^\circ。$
又因为$\angle O = 45^\circ，$所以$\triangle OCD$是等腰直角三角形，因此$OD = CD。$
所以$OD = CD = DE = EF，$设$EF = x，$则$OE = OD + DE = x + x = 2x。$
在$Rt\triangle OFE$中，由勾股定理得$EF^2 + OE^2 = OF^2。$
因为$OF$是扇形半径，即$OF = \sqrt{5}，$所以$x^2 + (2x)^2 = (\sqrt{5})^2，$解得$x = 1$（负值舍去）。
因此$EF = OD = CD = 1，$正方形$CDEF$的面积为$1 \times 1 = 1，$$\triangle OCD$的面积为$\frac{1}{2} \times OD \times CD = \frac{1}{2} \times 1 \times 1 = \frac{1}{2}。$
扇形$AOB$的面积为$\frac{45^\circ}{360^\circ} \times \pi \times (\sqrt{5})^2 = \frac{5}{8}\pi。$
所以阴影部分的面积为扇形$AOB$的面积减去$\triangle OCD$的面积再减去正方形$CDEF$的面积，即：
$S_{\text{阴影}} = \frac{5}{8}\pi - \frac{1}{2} - 1 = \frac{5}{8}\pi - \frac{3}{2}$
答：阴影部分的面积为$\frac{5}{8}\pi - \frac{3}{2}。$
解：连接OE、AE。
∵CE⊥OA，
∴∠ECO=90°。
∵点C为OA的中点，OA=2，
∴OC=$\frac{1}{2}OA=\frac{1}{2}\times2=1，$OE=OA=2。
∵在Rt△ECO中，OC=$\frac{1}{2}OE，$
∴∠COE=60°。
S阴影=S扇形ABO-S扇形CDO-(S扇形AOE-S△COE)。
其中：
S扇形ABO=$\frac{90\pi\times2^2}{360}=\pi；$
S扇形CDO=$\frac{90\pi\times1^2}{360}=\frac{\pi}{4}；$
S扇形AOE=$\frac{60\pi\times2^2}{360}=\frac{2\pi}{3}；$
S△COE=$\frac{1}{2}\times OC\times CE，$在Rt△COE中，CE=$\sqrt{OE^2 - OC^2}=\sqrt{2^2 - 1^2}=\sqrt{3}，$故S△COE=$\frac{1}{2}\times1\times\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}。$
代入可得：
S阴影=$\pi - \frac{\pi}{4} - (\frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2})$
=$\frac{3\pi}{4} - \frac{2\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}$
=$\frac{9\pi}{12} - \frac{8\pi}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2}$
=$\frac{\pi}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2}。$
答：阴影部分的面积为$\frac{\pi}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2}。$
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