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信息发布者：
（1） 连接 OD、OA，
∵ D 为弧 BE 的中点，
∴ OD⊥BC，
∠DOF=90°，
∴ ∠D+∠OFD=90°，
∵ AC=FC，OA=OD，
∴ ∠CAF=∠CFA，∠OAD=∠D，
∵ ∠CFA=∠OFD，
∴ ∠OAD+∠CAF=90°，
∴ OA⊥AC，
∵ OA 为半径，
∴ AC 是⊙O 的切线
（2） 设$OF=x$，则$OD = OB=r$，$BD=\frac{1}{2}BE$，$BF = 8$，所以$BD=r + x$。 在$Rt\triangle ODF$中，根据勾股定理$OD^{2}+OF^{2}=DF^{2}$，已知$DF=\sqrt{40}$，则$r^{2}+x^{2}=(\sqrt{40})^{2}=40$。 又因为$BF = 8$，所以$r - x+2x=8$，即$r + x=8$，$x = 8 - r$。 将$x = 8 - r$代入$r^{2}+x^{2}=40$得： $r^{2}+(8 - r)^{2}=40$。 展开$r^{2}+64-16r+r^{2}=40$。 整理得$2r^{2}-16r + 24 = 0$，两边同时除以$2$得$r^{2}-8r + 12 = 0$。 分解因式$(r - 2)(r - 6)=0$。 解得$r_{1}=2$，$r_{2}=6$。 当$r = 2$时，$x=8 - 2 = 6$，此时$OD = 2$，$OF = 6$，$OD\lt OF$不符合题意，舍去。 所以$\odot O$的半径$r = 6$。
（1）解：如图①，连接 $OC，$
∵ 直线 $l$ 与 $\odot O$ 相切于点 $C，$
∴ $OC \perp l，$
∵ $AD \perp l，$
∴ $OC // AD，$
∴ $\angle OCA = \angle DAC，$
∵ $OA = OC，$
∴ $\angle BAC = \angle OCA，$
∴ $\angle BAC = \angle DAC = 30^\circ。$
（2）解：如图②，连接 $BF，$
∵ $AB$ 是 $\odot O$ 的直径，
∴ $\angle AFB = 90^\circ，$
∴ $\angle BAF = 90^\circ - \angle B，$
∵ $\angle AEF = \angle ADE + \angle DAE = 90^\circ + 18^\circ = 108^\circ，$
在 $\odot O$ 中，四边形 $ABFE$ 是圆的内接四边形，
∴ $\angle AEF + \angle B = 180^\circ，$
∴ $\angle B = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ，$
∴ $\angle BAF = 90^\circ - \angle B = 90^\circ - 72^\circ = 18^\circ。$
$<br>$
解：$AD = BF，$理由如下：
连接 $AC$、$BC。$
∵ $AB$ 是$\odot O$的直径，$OC \perp AB，$
∴ $\angle AOC = \angle BOC = 90^\circ，$$AC = BC$（等弧所对的弦相等）。
∵ $\angle BAC$ 和 $\angle BDC$ 都是弧 $BC$ 所对的圆周角，
∴ $\angle BAC = \angle BDC。$
∵ $OC \perp AB，$$OA = OC，$
∴ $\triangle AOC$ 是等腰直角三角形，$\angle BAC = 45^\circ，$
∴ $\angle BDC = 45^\circ。$
∵ $EC \perp CD，$
∴ $\angle DCE = 90^\circ，$
∴ $\triangle DCF$ 是等腰直角三角形（$\angle DFC = 180^\circ - \angle DCE - \angle BDC = 45^\circ$），
∴ $DC = FC。$
∵ $\angle DCA + \angle ACF = \angle DCE = 90^\circ，$$\angle BCF + \angle ACF = \angle ACB = 90^\circ，$
∴ $\angle DCA = \angle FCB。$
在 $\triangle ACD$ 和 $\triangle BCF$ 中，
$\begin{cases}AC = BC \\\angle DCA = \angle FCB \\CD = CF\end{cases}$
∴ $\triangle ACD \cong \triangle BCF$（SAS），
∴ $AD = BF。$
解：连接 A C 、 B C
$\because O C \perp A B$
$\therefore \angle B O C=90^{\circ}$
$\therefore \angle B D C=\angle B A C=45^{\circ}$
$\because E C \perp C D，$
$\therefore \angle D C E=\angle A C B=90^{\circ}，$
$\therefore \triangle D C F $和$ \triangle A C B $都是等腰直角三角形
$\therefore D C=F C，$ A C=B C
$\because \angle D C A+\angle A C F=\angle B C F+\angle A C F=90^{\circ}$
$\therefore \angle D C A=\angle F C B$
在$ \triangle A C D $和$ \triangle B C F $中
${{\begin{cases}{{AC=BC}}\\{∠ACD=∠FCB}\\{CD=CF}\end{cases}}}$
$\therefore \triangle A C D \cong \triangle B C F(SAS)$
$\therefore AD=B F$
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