解：两人投掷骰子，$p$、$q$的所有可能结果如下表：
| $p\setminus q$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|------------------|---------|---------|---------|---------|---------|---------|
| 1 | (1,1) | (1,2) | (1,3) | (1,4) | (1,5) | (1,6) |
| 2 | (2,1) | (2,2) | (2,3) | (2,4) | (2,5) | (2,6) |
| 3 | (3,1) | (3,2) | (3,3) | (3,4) | (3,5) | (3,6) |
| 4 | (4,1) | (4,2) | (4,3) | (4,4) | (4,5) | (4,6) |
| 5 | (5,1) | (5,2) | (5,3) | (5,4) | (5,5) | (5,6) |
| 6 | (6,1) | (6,2) | (6,3) | (6,4) | (6,5) | (6,6) |
共有36种等可能结果。
(1) 方程有实数根需满足$\Delta = p^2 - 4q \geq 0，$即$p^2 \geq 4q。$
满足条件的$(p,q)$有：$(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)，$共19种。
$P(有实数根)=\frac{19}{36}。$
(2) 方程有两个相等实数根需满足$\Delta = p^2 - 4q = 0，$即$p^2 = 4q。$
满足条件的$(p,q)$有：$(2,1),(4,4)，$共2种。
$P(有两个相等实数根)=\frac{2}{36}=\frac{1}{18}。$
答：
(1) 概率为$\frac{19}{36}；$
(2) 概率为$\frac{1}{18}。$
