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B
C
C
D
15
22
5或$\sqrt{7}$
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$\frac {36}{5}$
5
设$DE$的长为$x\,\text{cm}。$
由折叠性质知，$BE = DE = x\,\text{cm}。$
因为四边形$ABCD$是长方形，所以$AB = 10\,\text{cm}，$$\angle A = 90^\circ，$则$AE = AB - BE = (10 - x)\,\text{cm}。$
在$Rt\triangle ADE$中，$AD = 4\,\text{cm}，$由勾股定理得：
$AD^2 + AE^2 = DE^2$
即$4^2 + (10 - x)^2 = x^2$
展开得$16 + 100 - 20x + x^2 = x^2$
化简得$116 - 20x = 0$
解得$x = \frac{29}{5}$
答：$DE$的长为$\frac{29}{5}\,\text{cm}。$
【答案】：
B

【解析】：
对于选项A，有$6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2$，满足勾股定理，故能作为直角三角形三边长。
对于选项B，有$5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 \neq 14^2$，不满足勾股定理，故不能作为直角三角形三边长。
对于选项C，有$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$，满足勾股定理，故能作为直角三角形三边长。
对于选项D，有$1^2 + (\sqrt{3})^2 = 1 + 3 = 4 = 2^2$，满足勾股定理，故能作为直角三角形三边长。
【答案】：
C

【解析】：
根据勾股定理，显示器的对角线长度可以通过其长和宽计算得出。设长为 $a = 61 cm$，宽为 $b = 35 cm$，对角线为 $c$，则：
$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{61^2 + 35^2} = \sqrt{3721 + 1225} = \sqrt{4946} \approx 70.33 cm$
将计算出的对角线长度与选项中的尺寸进行比较，70.33 cm 最接近 70 cm，即 27 英寸。
【答案】：
C

【解析】：
1. 设等腰三角形为 $ \triangle ABC $，其中 $ AB = AC = 5 $，底边 $ BC = 6 $。
2. 作 $ AD $ 垂直于 $ BC $ 于点 $ D $，则 $ D $ 为 $ BC $ 的中点，因此 $ BD = DC = \frac{BC}{2} = 3 $。
3. 在直角三角形 $ \triangle ABD $ 中，利用勾股定理计算 $ AD $ 的长度：
$ AD = \sqrt{AB^2 - BD^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4 $。
4. 计算三角形的面积：
$ S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} × BC × AD = \frac{1}{2} × 6 × 4 = 12 $。
【答案】：
D

【解析】：
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$AC = 6cm$，$BC = 8cm$，根据勾股定理$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{6^{2}+8^{2}} = 10cm$。
由折叠可知$AE = AC = 6cm$，$DE = CD$，$\angle AED=\angle C = 90^{\circ}$，则$BE=AB - AE=10 - 6 = 4cm$。
设$BD = x cm$，则$CD = DE=(8 - x)cm$。
在$Rt\triangle BDE$中，根据勾股定理$DE^{2}+BE^{2}=BD^{2}$，即$(8 - x)^{2}+4^{2}=x^{2}$。
展开得$64-16x+x^{2}+16 = x^{2}$，移项化简得$16x = 80$，解得$x = 5$，所以$BD = 5cm$。
【答案】：
所求的勾股数为$15$。

【解析】：
设所求的数为$x$，
根据勾股定理，若$x$是斜边，则有：
$x^2 = 12^2 + 9^2$，
$x^2 = 144 + 81$，
$x^2 = 225$，
从中解得：$x = 15$ （负值舍去，因为长度不能为负），
若$x$不是斜边，$12$是斜边，则有：
$12^2=x^2+9^2$，
$x^2=144-81$，
$x^2 = 63$，
$x=\sqrt{63}=3\sqrt{7}$，$3\sqrt{7}$不是整数，
由于题目要求的是勾股数，即必须是正整数，且根据勾股数的定义，斜边应该是最大的那个数，
所以，只有$x = 15$满足条件。
【答案】：
22

【解析】：
根据勾股定理和正方形的性质，我们知道：
正方形A的面积为$a^2=10$，
正方形B的面积为$b^2=12$，
正方形F的面积为$c^2$，
由图可知$a^2+b^2=c^2$，
所以$c^2=10+12=22$。
【答案】：
$5$或$\sqrt{7}$

【解析】：
在$Rt\triangle ABC$中，已知$BC = 3$，$AC = 4$，分两种情况讨论：
1. 当$BC$和$AC$为直角边时，根据勾股定理$AB^{2}=BC^{2}+AC^{2}$，将$BC = 3$，$AC = 4$代入可得$AB=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{9 + 16}=\sqrt{25}=5$。
2. 当$AC$为斜边，$BC$为直角边时，根据勾股定理$AB^{2}=AC^{2}-BC^{2}$，将$BC = 3$，$AC = 4$代入可得$AB=\sqrt{4^{2}-3^{2}}=\sqrt{16 - 9}=\sqrt{7}$。
【答案】：
5

【解析】：
甲往东走，乙往南走，两人行走的方向构成直角，因此甲、乙两人与出发点构成直角三角形。其中甲走的距离为一条直角边，长度为4km，乙走的距离为另一条直角边，长度为3km。根据勾股定理，斜边（即甲、乙两人之间的距离）的平方等于两直角边的平方和。设甲、乙两人之间的距离为$c$，则有$c^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$，解得$c = \sqrt{25} = 5$。
设DE的长为$x\,cm$。
由折叠性质知，$BE = DE = x\,cm$。
因为四边形$ABCD$是长方形，所以$AB = 10\,cm$，$\angle A = 90°$，则$AE = AB - BE = (10 - x)\,cm$。
在$Rt\triangle ADE$中，$AD = 4\,cm$，由勾股定理得：
$AD^2 + AE^2 = DE^2$
即$4^2 + (10 - x)^2 = x^2$
展开得$16 + 100 - 20x + x^2 = x^2$
化简得$116 - 20x = 0$
解得$x = \frac{29}{5}$
答：$DE$的长为$\frac{29}{5}\,cm$。
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