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第126页

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 示意图：

 A (大树顶)

|

 | 13m

|

 D-------C (小树顶)

 |       |

 12m   |       | 8m

 |       |

 B-------E (地面)

（说明：$AB$为大树，高度$AB=13\,\text{m}；$$CE$为小树，高度$CE=8\,\text{m}；$两树水平距离$BE=12\,\text{m}，$过$C$作$CD \perp AB$于$D，$则$CD=BE=12\,\text{m}，$$AD=AB-CE=13-8=5\,\text{m}，$$AC$为小鸟飞行的最短路程。）

求解过程：

因为两点之间线段最短，小鸟飞行的最短路程为线段$AC。$

在$Rt\triangle ADC$中，$AD=5\,\text{m}，$$CD=12\,\text{m}，$根据勾股定理：

$AC^2 = AD^2 + CD^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$

所以$AC = \sqrt{169} = 13\,\text{m}。$

答： 小鸟飞行的最短路程是$\boxed{13}$米。

图②中两个小正方形面积分别为$S_2 = a^2，$$S_3 = b^2，$4个直角三角形面积和为$4\times\frac{1}{2}ab = 2ab，$故图②总面积为$S_2 + S_3 + 2ab = a^2 + b^2 + 2ab。$

图③中小正方形$S_1$的边长为$c$（直角三角形斜边），面积$S_1 = c^2，$4个直角三角形面积和为$2ab，$故图③总面积为$S_1 + 2ab = c^2 + 2ab。$

因图②与图③均由4个全等直角三角形拼成，总面积相等，即$a^2 + b^2 + 2ab = c^2 + 2ab，$化简得$S_2 + S_3 = S_1，$且$a^2 + b^2 = c^2。$

(1) 24；25

(2)

①Ⅰ. 当$k=12$时，不满足法则(Ⅰ)（$k$需为奇数），舍去；

法则(Ⅱ)：

$k=12$，则

$\left(\frac{12}{2}\right)^2 - 1 = 35$，

$\left(\frac{12}{2}\right)^2 + 1 = 37$，

故另外两个数为35，37。

Ⅱ. 当$\frac{k^2-1}{2}=12$时，解得$k=5$（$k$为奇数），

则$\frac{k^2+1}{2} = 13$，

故另外两个数为5，13。

综上，另外两个数为35，37或5，13。

②证明法则(Ⅰ)：

设$k$为大于1的奇数，则

$k^2 + \left(\frac{k^2-1}{2}\right)^2 = k^2 + \frac{k^4 - 2k^2 + 1}{4} = \frac{k^4 + 2k^2 + 1}{4} = \left(\frac{k^2+1}{2}\right)^2$，

故$k$，$\frac{k^2-1}{2}$，$\frac{k^2+1}{2}$构成勾股数。

或证明法则(Ⅱ)：

设$k$为大于2的偶数，则

$k^2 + \left(\left(\frac{k}{2}\right)^2 - 1\right)^2 = k^2 + \left(\frac{k^2}{4} - 1\right)^2 = \frac{k^4}{16} + \frac{k^2}{2} + 1 = \left(\left(\frac{k}{2}\right)^2 + 1\right)^2$，

故$k$，$\left(\frac{k}{2}\right)^2 - 1$，$\left(\frac{k}{2}\right)^2 + 1$构成勾股数。