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证明：∵​$AD//BC，$​∴​$∠ADB = ∠EBC$​
在​$\triangle ABD$​和​$\triangle ECB$​中
​$\begin {cases}∠A = ∠BEC\\AD = BE\\∠ADB = ∠EBC\end {cases}$​
∴​$\triangle ABD ≌\triangle ECB(\mathrm {ASA})$​
证明：​$(1)$​∵​$EF $​平分​$∠AF B，$​∴​$∠AFE = ∠DFE$​
∵​$EF \perp AD，$​∴​$∠AEF = ∠DEF = 90^\circ$​
在​$\triangle AEF $​和​$\triangle DEF $​中
​$\begin {cases}∠AFE = ∠DFE\\EF = EF\\∠AEF = ∠DEF\end {cases}$​
∴​$\triangle AEF≌\triangle DEF(AS A)，$​∴​$AF = DF$​
​$(2)$​∵​$AF = DF，$​∴​$∠F AD = ∠F DA$​
∵​$∠F DA = ∠B + ∠BAD，$​​$∠F AD = ∠F AC + ∠CAD$​
且​$∠B = ∠F AC$​
∴​$∠BAD = ∠CAD，$​即​$AD$​是​$\triangle ABC$​的角平分线
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