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解: （1）设二次函数的解析式为y=ax²+bx+c，根据题意得：$\begin{cases}a+b+c=0 \\c=-2 \\4a+2b+c=3\end{cases}$解得$\begin{cases}a=\frac{1}{2} \\b=\frac{3}{2} \\c=-2\end{cases}$所以二次函数的解析式为y$=\frac{1}{2}x²+\frac{3}{2}x-2$；
$（2）设二次函数的解析式为y=a(x+1)²-2，将点(1,10)代入得10=a(1+1)²-2，解得a=3，所以二次函数的解析式为y=3(x+1)²-2=3x²+6x+1。 $
C
C
$ \sqrt{5} $
解: （1）设二次函数的解析式为y=a(x-2)²-1，将点(1,3)代入得3=a(1-2)²-1，解得a=4，所以解析式为y=4(x-2)²-1=4x²-16x+15；（2）设二次函数的解析式为y=ax²+bx+c，对称轴为x=2，$即-\frac{b}{2a}$=2，且过点(1,0)，(0,-3)，得$\begin{cases}a+b+c=0 \\c=-3 \\\frac{b}{2a}=2\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-1 \\b=4 \\c=-3\end{cases}$所以解析式为y=-x²+4x-3。
$ 解:（1）因为抛物线由y=x²平移得到，所以a=1，又a:b:c=2:5:1，设a=2k，则b=5k，c=k，所以2k=1→k=\frac{1}{2}，所以b=\frac{5}{2}，c=\frac{1}{2}，抛物线的函数解析式为y=x²+\frac{5}{2}x+\frac{1}{2}；$
$（2）顶点坐标为(-\frac{5}{4},-\frac{17}{16})，对称轴是直线x=-\frac{5}{4}；$
$（3）当x＞-\frac{5}{4}时，y随x的增大而增大；当x＜-\frac{5}{4}时，y随x的增大而减小。 $
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