解：
1. **情况一：中线和高线重合
设$\triangle ABC$，$AD$是$BC$边上的中线（$BD = DC$），也是$BC$边上的高线（$AD\perp BC$）。
在$\triangle ABD$和$\triangle ACD$中，$\left\{\begin{array}{l}BD = DC\\\angle ADB=\angle ADC = 90^{\circ}\\AD = AD\end{array}\right.$。
根据$SAS$（边角边）全等判定定理，可得$\triangle ABD\cong\triangle ACD$。
由全等三角形的性质可知$AB = AC$，所以$\triangle ABC$是等腰三角形。
2. **情况二：角平分线和高线重合
设$\triangle ABC$，$AD$是$\angle BAC$的角平分线（$\angle BAD=\angle CAD$），也是$BC$边上的高线（$AD\perp BC$）。
因为$\angle ADB=\angle ADC = 90^{\circ}$，$\angle BAD=\angle CAD$，$AD = AD$。
根据$ASA$（角边角）全等判定定理，$\triangle ABD\cong\triangle ACD$。
由全等三角形的性质可知$AB = AC$，所以$\triangle ABC$是等腰三角形。
3. **情况三：中线和角平分线重合
设$\triangle ABC$，$AD$是$BC$边上的中线（$BD = DC$），也是$\angle BAC$的角平分线（$\angle BAD=\angle CAD$）。
过$D$作$DE\perp AB$于$E$，$DF\perp AC$于$F$。
因为$AD$是角平分线，根据角平分线的性质$DE = DF$。
又因为$BD = DC$，由$HL$（斜边 - 直角边）全等判定定理（$Rt\triangle BDE$和$Rt\triangle CDF$中，$BD = DC$，$DE = DF$），可得$Rt\triangle BDE\cong Rt\triangle CDF$。
所以$\angle B=\angle C$，再根据等角对等边，可得$AB = AC$，所以$\triangle ABC$是等腰三角形。
综上，这个三角形一定是等腰三角形。
