$(1)$ 求四边形$AEDF$的周长
- **步骤一：利用直角三角形斜边中线定理求$DE$、$DF$的长度
已知$AD$是高，所以$\angle ADB = \angle ADC=90^{\circ}$。
因为$E$是$AB$的中点，在$Rt\triangle ABD$中，根据直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得$DE=\frac{1}{2}AB$。
已知$AB = 10$，则$DE=\frac{1}{2}×10 = 5$。
同理，因为$F$是$AC$的中点，在$Rt\triangle ACD$中，可得$DF=\frac{1}{2}AC$。
已知$AC = 8$，则$DF=\frac{1}{2}×8 = 4$。
- **步骤二：利用三角形中位线定理求$AE$、$AF$与$AB$、$AC$的关系
因为$E$是$AB$的中点，所以$AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×10 = 5$；
因为$F$是$AC$的中点，所以$AF=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×8 = 4$。
- **步骤三：计算四边形$AEDF$的周长
四边形$AEDF$的周长$C = AE + ED + DF+FA$，将$AE = 5$，$ED = 5$，$DF = 4$，$FA = 4$代入可得：
$C=5 + 5+4 + 4=18$。
$(2)$ 判断$EF$与$AD$的位置关系并证明
- **结论**：$EF\perp AD$。
- **证明**：
因为$E$是$AB$的中点，$F$是$AC$的中点，所以$EF$是$\triangle ABC$的中位线。
根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，可得$EF// BC$。
又因为$AD\perp BC$（$AD$是高），根据平行线的性质：如果一条直线垂直于一组平行线中的一条直线，那么它也垂直于另一条直线，所以$EF\perp AD$。
综上，$(1)$四边形$AEDF$的周长为$\boldsymbol{18}$；$(2)$$EF$与$AD$的位置关系是$\boldsymbol{EF\perp AD}$。
