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当底边长为5时，
设腰长为$x$，
$2x + 5 = 12$，
解得$x= 3.5$。
另外两边为$3.5$，$3.5$。
当腰长为5时，底边为12-5-5=2
另外两边为5，$2$。
（1）解：
因为$\angle A = 4\angle B$，且$\angle A$是顶角，$\triangle ABC$是等腰三角形，所以$\angle B=\angle C$。
又因为$\angle A+\angle B+\angle C = 180^{\circ}$，把$\angle A = 4\angle B$，$\angle C=\angle B$代入可得：$4\angle B+\angle B+\angle B = 180^{\circ}$。
即$6\angle B = 180^{\circ}$，解得$\angle B = 30^{\circ}$。
所以$\angle C=\angle B = 30^{\circ}$。
（2）解：
因为$\angle A = 4\angle B$，且$\angle A$是底角。
①若$\angle B$是底角，则$\angle A=\angle B$，这与$\angle A = 4\angle B$矛盾，此情况不成立。
②若$\angle B$是顶角，则$\angle A=\angle C$。
因为$\angle A+\angle B+\angle C = 180^{\circ}$，把$\angle A = 4\angle B$，$\angle C=\angle A$代入可得：$4\angle B+\angle B + 4\angle B=180^{\circ}$。
即$9\angle B = 180^{\circ}$，解得$\angle B = 20^{\circ}$。
所以$\angle C=\angle A = 4×20^{\circ}=80^{\circ}$。
综上，（1）$\angle C = 30^{\circ}$；（2）$\angle C = 80^{\circ}$。
因为当重锤线经过点$A$时，$AD$为垂直方向．由于$AB = AC$，$\triangle ABC$是等腰三角形，$D$是$BC$的中点，因此$AD$既是中线又是高线，即$AD\perp BC$．此时$AD$为垂直方向与$BC$垂直，故$BC$必然处于水平位置．
（1）
因为$AB = AC$，$\angle A=40^{\circ}$，根据三角形内角和定理$\angle A+\angle B+\angle C = 180^{\circ}$，且$\angle B=\angle C$，所以$\angle B=\angle C=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle A)$。
把$\angle A = 40^{\circ}$代入可得$\angle B=\angle C=\frac{1}{2}(180 - 40)^{\circ}=70^{\circ}$。
因为$CD$是$\triangle ABC$的角平分线，所以$\angle BCD=\frac{1}{2}\angle C$。
则$\angle BCD = 35^{\circ}$。
 （2）
因为$AB = AC$，$\angle A = 40^{\circ}$，$\angle B=\angle C=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle A)=70^{\circ}$。
又因为$CD\perp AB$，在$Rt\triangle BCD$中，根据直角三角形两锐角互余，$\angle BCD+\angle B = 90^{\circ}$。
所以$\angle BCD=90^{\circ}-\angle B$，把$\angle B = 70^{\circ}$代入得$\angle BCD = 20^{\circ}$。
（3）
因为$CD = AD$，所以$\angle A=\angle ACD$（等边对等角）。
已知$\angle A = 40^{\circ}$，则$\angle ACD = 40^{\circ}$。
又因为$\angle B=\angle C=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle A)=70^{\circ}$，所以$\angle BCD=\angle C-\angle ACD$。
则$\angle BCD=70^{\circ}-40^{\circ}=30^{\circ}$。
（4）
因为$AB = AC$，$\angle A = 40^{\circ}$，所以$\angle B=\angle ACB=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle A)=70^{\circ}$。
因为$CD = CB$，所以$\angle B=\angle CDB = 70^{\circ}$（等边对等角）。
根据三角形内角和定理，在$\triangle BCD$中，$\angle BCD=180^{\circ}-\angle B-\angle CDB$。
把$\angle B=\angle CDB = 70^{\circ}$代入得$\angle BCD=180^{\circ}-70^{\circ}-70^{\circ}=40^{\circ}$。
综上，（1）$\boldsymbol{35^{\circ}}$；（2）$\boldsymbol{20^{\circ}}$；（3）$\boldsymbol{30^{\circ}}$；（4）$\boldsymbol{40^{\circ}}$。
（1）$ \boldsymbol{\angle 1 = 36°} $，$ \boldsymbol{\angle 2 = 72°} $
$(2)$ 找出图中的等腰三角形，并加以证明- **$\triangle ABC$是等腰三角形：解：在$\triangle ABC$中，$\angle BAC = 180^{\circ}-\angle B-\angle C$，已知$\angle B = 72^{\circ}$，$\angle C = 36^{\circ}$，则$\angle BAC=180^{\circ}-72^{\circ}-36^{\circ}=72^{\circ}$。因为$\angle B=\angle BAC = 72^{\circ}$，根据等腰三角形的判定定理：等角对等边，所以$AC = BC$，$\triangle ABC$是等腰三角形。$\triangle ABD$是等腰三角形：在$\triangle ABD$中，已知$\angle B = 72^{\circ}$，$\angle BAD = 36^{\circ}$，则$\angle ADB=180^{\circ}-\angle B - \angle BAD=180^{\circ}-72^{\circ}-36^{\circ}=72^{\circ}$。因为$\angle B=\angle ADB = 72^{\circ}$，根据等腰三角形的判定定理：等角对等边，所以$AB = AD$，$\triangle ABD$是等腰三角形。$\triangle ACD$是等腰三角形：由$(1)$知，根据等腰三角形的判定定理：等角对等边，所以$CD = AC$，$\triangle ACD$是等腰三角形。
（1）$ \boldsymbol{\angle 1 = 36°} $，$ \boldsymbol{\angle 2 = 72°} $
$(2)$ 找出图中的等腰三角形，并加以证明- **$\triangle ABC$是等腰三角形：解：在$\triangle ABC$中，$\angle BAC = 180^{\circ}-\angle B-\angle C$，已知$\angle B = 72^{\circ}$，$\angle C = 36^{\circ}$，则$\angle BAC=180^{\circ}-72^{\circ}-36^{\circ}=72^{\circ}$。因为$\angle B=\angle BAC = 72^{\circ}$，根据等腰三角形的判定定理：等角对等边，所以$AC = BC$，$\triangle ABC$是等腰三角形。$\triangle ABD$是等腰三角形：在$\triangle ABD$中，已知$\angle B = 72^{\circ}$，$\angle BAD = 36^{\circ}$，则$\angle ADB=180^{\circ}-\angle B - \angle BAD=180^{\circ}-72^{\circ}-36^{\circ}=72^{\circ}$。因为$\angle B=\angle ADB = 72^{\circ}$，根据等腰三角形的判定定理：等角对等边，所以$AB = AD$，$\triangle ABD$是等腰三角形。$\triangle ACD$是等腰三角形：由$(1)$知，根据等腰三角形的判定定理：等角对等边，所以$CD = AC$，$\triangle ACD$是等腰三角形。
相等．
证明：$ \because \triangle ABC $和$ \triangle CDE $均
为等边三角形，
$ \therefore AC = BC $，$ CD = CE $，
$ \angle ACB = \angle DCE = 60° $．
$ \therefore \angle ACD = \angle BCE = 120° $．
$ \therefore \triangle ACD \cong \triangle BCE $．
$ \therefore AD = BE $．
相等．
证明：$ \because \triangle ABC $和$ \triangle CDE $均
为等边三角形，
$ \therefore AC = BC $，$ CD = CE $，
$ \angle ACB = \angle DCE = 60° $．
$ \therefore \angle ACD = \angle BCE = 120° $．
$ \therefore \triangle ACD \cong \triangle BCE $．
$ \therefore AD = BE $．
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