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证明：$\because BE$和$CD$是中线，
$\therefore E$为$AC$中点，$D$为$AB$中点，
即$AE=EC=\dfrac{1}{2}AC$，
$AD=DB=\dfrac{1}{2}AB$.
又$\because AB=AC$，
$\therefore AE=AD$.
在$\triangle ABE$和$\triangle ACD$中，
$\begin{cases} AB=AC, \\ \angle BAE=\angle CAD, \\ AE=AD, \end{cases}$
$\therefore \triangle ABE \cong \triangle ACD$（$SAS$），
$\therefore BE=CD$.
证明：$\because BE$和$CD$是中线，
$\therefore E$为$AC$中点，$D$为$AB$中点，
即$AE=EC=\dfrac{1}{2}AC$，
$AD=DB=\dfrac{1}{2}AB$.
又$\because AB=AC$，
$\therefore AE=AD$.
在$\triangle ABE$和$\triangle ACD$中，
$\begin{cases} AB=AC, \\ \angle BAE=\angle CAD, \\ AE=AD, \end{cases}$
$\therefore \triangle ABE \cong \triangle ACD$（$SAS$），
$\therefore BE=CD$.
证明：$\because AD=BE$，
$\therefore AD+BD=BE+BD$，
即$AB=DE$.
$\because AC // DF$，
$\therefore \angle A= \angle EDF$.
在$\triangle ABC$和$\triangle DEF$中，
$\begin{cases} AB=DE, \\ \angle A= \angle EDF, \\ AC=DF, \end{cases}$
$\therefore \triangle ABC \cong \triangle DEF$.
$\therefore \angle C= \angle F$.
证明：$\because AD=BE$，
$\therefore AD+BD=BE+BD$，
即$AB=DE$.
$\because AC // DF$，
$\therefore \angle A= \angle EDF$.
在$\triangle ABC$和$\triangle DEF$中，
$\begin{cases} AB=DE, \\ \angle A= \angle EDF, \\ AC=DF, \end{cases}$
$\therefore \triangle ABC \cong \triangle DEF$.
$\therefore \angle C= \angle F$.
证明：$\because \triangle AOD \cong \triangle BOC$，
$\therefore AO=BO$，$OD=OC$，$\angle AOD= \angle BOC$.
$\therefore \angle AOD- \angle COD= \angle BOC- \angle COD$.
即$\angle AOC= \angle BOD$.
在$\triangle AOC$和$\triangle BOD$中，$AO=BO$，$\angle AOC= \angle BOD$，$OC=OD$，
$\therefore \triangle AOC \cong \triangle BOD$（$SAS$）
证明：$\because \triangle AOD \cong \triangle BOC$，
$\therefore AO=BO$，$OD=OC$，$\angle AOD= \angle BOC$.
$\therefore \angle AOD- \angle COD= \angle BOC- \angle COD$.
即$\angle AOC= \angle BOD$.
在$\triangle AOC$和$\triangle BOD$中，$AO=BO$，$\angle AOC= \angle BOD$，$OC=OD$，
$\therefore \triangle AOC \cong \triangle BOD$（$SAS$）
$(1)$
解：$\triangle BDE$是等腰三角形。
因为$BD$平分$\angle ABC$，所以$\angle ABD=\angle DBC$（角平分线的定义）。
又因为$DE// AB$，所以$\angle ABD = \angle BDE$（两直线平行，内错角相等）。
所以$\angle DBC=\angle BDE$（等量代换）。
根据“等角对等边”，可得$BE = DE$，所以$\triangle BDE$是等腰三角形。
$(2)$
解：$\triangle AEC$是等腰三角形。
因为$AD$平分$\angle BAC$，所以$\angle BAD=\angle CAD$（角平分线的定义）。
又因为$EC// AD$，所以$\angle BAD=\angle E$（两直线平行，同位角相等），$\angle CAD=\angle ACE$（两直线平行，内错角相等）。
所以$\angle E=\angle ACE$（等量代换）。
根据“等角对等边”，可得$AE = AC$，所以$\triangle AEC$是等腰三角形。
$(3)$
解：$\triangle GEF$是等腰三角形。
因为$AD$平分$\angle BAC$，所以$\angle BAD=\angle CAD$（角平分线的定义）。
因为$GE// AD$，所以$\angle G=\angle CAD$（两直线平行，同位角相等），$\angle GFE=\angle BAD$（两直线平行，内错角相等）。
所以$\angle G=\angle GFE$（等量代换）。
根据“等角对等边”，可得$GE = FE$，所以$\triangle GEF$是等腰三角形。
综上，$(1)$中$\boldsymbol{\triangle BDE}$是等腰三角形；$(2)$中$\boldsymbol{\triangle AEC}$是等腰三角形；$(3)$中$\boldsymbol{\triangle GEF}$是等腰三角形。
解：
因为$BO$平分$\angle ABC$，所以$\angle MBO=\angle OBC$。
又因为$MN// BC$，所以$\angle MOB=\angle OBC$。
则$\angle MBO=\angle MOB$，所以$BM = MO$。
同理，因为$CO$平分$\angle ACB$，$MN// BC$，可得$\angle NCO=\angle OCB$，$\angle NOC=\angle OCB$，所以$\angle NCO=\angle NOC$，$CN = NO$。
因为$MN=MO + NO$，且$BM = MO$，$CN = NO$，所以$MN=BM + CN$。
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