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$(1)$ 求$\angle C$和$\angle D$的数量关系
解：$\angle C = 2\angle D$。
证明：
因为$AB = AC$，根据等腰三角形两底角相等，所以$\angle ABC=\angle C$。
因为$AB = AD$，所以$\angle ABD=\angle D$。
又因为$AD// BC$，根据两直线平行，内错角相等，所以$\angle DBC=\angle D$。
而$\angle ABC=\angle ABD + \angle DBC$，即$\angle C=\angle D+\angle D$，所以$\angle C = 2\angle D$。
$(2)$ 根据$\angle C = 2\angle D$推出结论
解：$AD// BC$。
证明：
因为$AB = AC$，所以$\angle ABC=\angle C$（等腰三角形两底角相等）。
因为$AB = AD$，所以$\angle ABD=\angle D$（等腰三角形两底角相等）。
已知$\angle C = 2\angle D$，即$\angle ABC = 2\angle D$。
又因为$\angle ABC=\angle ABD+\angle DBC$，且$\angle ABD=\angle D$，所以$\angle DBC=\angle D$。
根据内错角相等，两直线平行，所以$AD// BC$。
综上，$(1)$$\boldsymbol{\angle C = 2\angle D}$；$(2)$$\boldsymbol{AD// BC}$。
$(1)$ 求$\angle C$和$\angle D$的数量关系
解：$\angle C = 2\angle D$。
证明：
因为$AB = AC$，根据等腰三角形两底角相等，所以$\angle ABC=\angle C$。
因为$AB = AD$，所以$\angle ABD=\angle D$。
又因为$AD// BC$，根据两直线平行，内错角相等，所以$\angle DBC=\angle D$。
而$\angle ABC=\angle ABD + \angle DBC$，即$\angle C=\angle D+\angle D$，所以$\angle C = 2\angle D$。
$(2)$ 根据$\angle C = 2\angle D$推出结论
解：$AD// BC$。
证明：
因为$AB = AC$，所以$\angle ABC=\angle C$（等腰三角形两底角相等）。
因为$AB = AD$，所以$\angle ABD=\angle D$（等腰三角形两底角相等）。
已知$\angle C = 2\angle D$，即$\angle ABC = 2\angle D$。
又因为$\angle ABC=\angle ABD+\angle DBC$，且$\angle ABD=\angle D$，所以$\angle DBC=\angle D$。
根据内错角相等，两直线平行，所以$AD// BC$。
综上，$(1)$$\boldsymbol{\angle C = 2\angle D}$；$(2)$$\boldsymbol{AD// BC}$。


1. （1）
解：$AF = EF+DE$。
理由：连接$BF$。
因为$\triangle ABC\cong\triangle DBE$，所以$BC = BE$，$AC = DE$。
在$Rt\triangle BCF$和$Rt\triangle BEF$中，$\left\{\begin{array}{l}BC = BE\\BF = BF\end{array}\right.$（$HL$定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等）。
所以$CF = EF$。
又因为$AF=AC + CF$，且$AC = DE$，$CF = EF$，所以$AF = EF+DE$。
2. （2）
解：画出变换后的图形（略，将$\triangle DBE$绕点$B$顺时针旋转$\alpha(0^{\circ}\lt\alpha\lt60^{\circ})$，使$BE$不再与$BA$重合）。
此时（1）中的结论仍然成立。
连接$BF$。
因为$\triangle ABC\cong\triangle DBE$，所以$BC = BE$，$AC = DE$。
在$Rt\triangle BCF$和$Rt\triangle BEF$中，$\left\{\begin{array}{l}BC = BE\\BF = BF\end{array}\right.$（$HL$定理）。
所以$CF = EF$。
又因为$AF=AC + CF$，且$AC = DE$，$CF = EF$，所以$AF = EF + DE$。
综上，（1）$AF = EF+DE$；（2）结论仍然成立。
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