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第71页

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$-\frac{\pi}{2}$

$\sqrt{10}$

证明：假设$\sqrt{2}-1$为有理数，所以$\sqrt{2}-1$可以写成$\frac{p}{q}$（$p$，$q$是正整数，且没有大于$1$的公约数），即$\sqrt{2}-1=\frac{p}{q}$．$\sqrt{2}=\frac{p}{q}+1$．$(\sqrt{2})^2=\left(\frac{p}{q}+1\right)^2$，$2=\frac{(p + q)^2}{q^2}$，$2q^2=(p + q)^2$由于$2q^2$是偶数，所以$p + q$也为偶数．设$p + q = 2a$，则有$2q^2=(2a)^2$，即$2q^2 = 4a^2$，即$q^2 = 2a^2$．因此$q$也是偶数．于是，$p$，$q$都是$2$的倍数，这与$p$，$q$没有大于$1$的公约数相矛盾．因此$\sqrt{2}-1=\frac{p}{q}$是不可能的，也就是说$\sqrt{2}-1$不是有理数，它是无理数．