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本题可根据勾股定理$a^2 + b^2 = c^2$（其中$a$、$b$为直角边，$c$为斜边）来求解$x$的值。
$(1)$ 求第一个直角三角形中$x$的值
解：在直角三角形中，两直角边分别为$8$和$9$，斜边为$x$。
根据勾股定理$a^2 + b^2 = c^2$，可得$x=\sqrt{8^{2}+9^{2}}=\sqrt{64 + 81}=\sqrt{145}$。
$(2)$ 求第二个直角三角形中$x$的值
解：在直角三角形中，斜边为$15$，一条直角边为$10$，另一条直角边为$x$。
根据勾股定理$a^2 + b^2 = c^2$，变形可得$x=\sqrt{15^{2}-10^{2}}=\sqrt{225 - 100}=\sqrt{125}=5\sqrt{5}$。
$(3)$ 求第三个直角三角形中$x$的值
解：在直角三角形中，两直角边分别为$x$和$14$，斜边为$16$。
根据勾股定理$a^2 + b^2 = c^2$，变形可得$x=\sqrt{16^{2}-14^{2}}=\sqrt{(16 + 14)×(16 - 14)}=\sqrt{30×2}=\sqrt{60}=2\sqrt{15}$。
综上，答案依次为$(1)$$\boldsymbol{\sqrt{145}}$；$(2)$$\boldsymbol{5\sqrt{5}}$；$(3)$$\boldsymbol{2\sqrt{15}}$。
解：由题意可知，梯子、墙与地面构成直角三角形，梯子长度为斜边。
根据勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$（其中$c$为斜边，$a$、$b$为两直角边），在本题中$c = 2.5m$，$a = 1.5m$，求$b = h$。
则$h=\sqrt{2.5^{2}-1.5^{2}}=\sqrt{(2.5 + 1.5)(2.5 - 1.5)}=\sqrt{4×1}=\sqrt{4}=2(m)$。
所以梯子顶端距地面的高度$h$为$2m$。
解：由题意可知，梯子、墙与地面构成直角三角形，梯子长度为斜边。
根据勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$（其中$c$为斜边，$a$、$b$为两直角边），在本题中$c = 2.5m$，$a = 1.5m$，求$b = h$。
则$h=\sqrt{2.5^{2}-1.5^{2}}=\sqrt{(2.5 + 1.5)(2.5 - 1.5)}=\sqrt{4×1}=\sqrt{4}=2(m)$。
所以梯子顶端距地面的高度$h$为$2m$。


证明：$ \because $五边形$ AGFDB $的面积等于$ a^{2}+b^{2}+\frac{1}{2}ab\cdot 2 $，五边形$ AGFDB $的面积也等于$ c^{2}+\frac{1}{2}ab\cdot 2 $，
$ \therefore a^{2}+b^{2}+\frac{1}{2}ab\cdot 2=c^{2}+\frac{1}{2}ab\cdot 2 $，
$ \therefore a^{2}+b^{2}=c^{2} $
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