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解：在$ Rt\triangle AOB $中，根据勾股定理，得$ AB = \sqrt{OA^2 + OB^2} = \sqrt{2.4^2 + 1.8^2} = 3 $．

因为梯子顶端下降$ 0.4\ m $，即$ AC = 0.4\ m $，所以$ OC = AO - AC = 2.4 - 0.4 = 2\ m $，梯子长度不变，即$ CD = AB = 3\ m $．

在$ Rt\triangle COD $中，根据勾股定理，得$ OD = \sqrt{CD^2 - OC^2} = \sqrt{3^2 - 2^2} \approx 2.24 $．

所以$ BD \approx 2.24 - 1.8 = 0.44\ m $，即梯子的底端$ B $应向右滑动约$ 0.44 $米．

解：设点$A$为直线$l$外一点，$AB\perp l$，垂足为$B$，$AC$为$l$上任意一条斜线段（$C\neq B$）。

在$Rt\triangle ABC$中，根据勾股定理$AC^{2}=AB^{2} + BC^{2}$（$BC\gt0$）。

因为$BC^{2}\gt0$，所以$AC^{2}\gt AB^{2}$，又因为$AC\gt0$，$AB\gt0$，所以$AC\gt AB$。

由于$AC$是直线$l$上任意一条斜线段（$C\neq B$），所以可以说明“垂线段最短”。