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在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C=90°$，$AC=2$，$BC=4$，根据勾股定理，$AB^2=AC^2+BC^2=2^2+4^2=20$。正方形$ABDE$的面积$S_{正方形ABDE}=AB^2=20$，$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}× 2× 4=4$。所以阴影部分面积$S=S_{正方形ABDE}-S_{\triangle ABC}=20-4=16$。
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C=90°$，$AC=2$，$BC=4$，根据勾股定理，$AB^2=AC^2+BC^2=2^2+4^2=20$。正方形$ABDE$的面积$S_{正方形ABDE}=AB^2=20$，$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}× 2× 4=4$。所以阴影部分面积$S=S_{正方形ABDE}-S_{\triangle ABC}=20-4=16$。
解：
因为在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$CE$为边$AB$上的中线，$CE = 5$，
根据直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，所以$AB = 2CE$，则$AB=2×5 = 10$。
又因为$AD = 2$，所以$BD=AB - AD=10 - 2=8$。
因为$CD$为边$AB$上的高，所以$\angle CDA=\angle CDB = 90^{\circ}$。
根据射影定理$CD^{2}=AD× BD$（也可通过相似三角形$\triangle ACD\sim\triangle CBD$得到，$\frac{AD}{CD}=\frac{CD}{BD}$）。
把$AD = 2$，$BD = 8$代入$CD^{2}=AD× BD$中，得$CD^{2}=2×8 = 16$。
所以$CD=\sqrt{16}=4$。
综上，$CD$的长为$4$。
解：
因为在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$CE$为边$AB$上的中线，$CE = 5$，
根据直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，所以$AB = 2CE$，则$AB=2×5 = 10$。
又因为$AD = 2$，所以$BD=AB - AD=10 - 2=8$。
因为$CD$为边$AB$上的高，所以$\angle CDA=\angle CDB = 90^{\circ}$。
根据射影定理$CD^{2}=AD× BD$（也可通过相似三角形$\triangle ACD\sim\triangle CBD$得到，$\frac{AD}{CD}=\frac{CD}{BD}$）。
把$AD = 2$，$BD = 8$代入$CD^{2}=AD× BD$中，得$CD^{2}=2×8 = 16$。
所以$CD=\sqrt{16}=4$。
综上，$CD$的长为$4$。
1. 首先，根据勾股定理求$AB$的长度：
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，由勾股定理$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}$。
已知$AC = 12$，$BC = 9$，则$AB=\sqrt{12^{2}+9^{2}}=\sqrt{144 + 81}=\sqrt{225}=15$。
2. 然后，连接$BE$：
因为$DE$是$AB$的垂直平分线，所以$AE = BE$（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）。
设$AE=x$，则$BE=x$，$EC=AC - AE=12 - x$。
3. 最后，在$Rt\triangle BCE$中，根据勾股定理列方程：
在$Rt\triangle BCE$中，$\angle C = 90^{\circ}$，由勾股定理$BE^{2}=BC^{2}+EC^{2}$。
把$BE = x$，$BC = 9$，$EC=12 - x$代入方程得：$x^{2}=9^{2}+(12 - x)^{2}$。
展开方程右边：$x^{2}=81+144-24x+x^{2}$。
移项：$x^{2}-x^{2}+24x=81 + 144$。
合并同类项：$24x=225$。
解得$x=\frac{225}{24}=\frac{75}{8}$。
所以$AE=\frac{75}{8}$，$EC=12-\frac{75}{8}=\frac{96 - 75}{8}=\frac{21}{8}$。
综上，$AE$的长为$\frac{75}{8}$，$EC$的长为$\frac{21}{8}$。
1. 首先，根据勾股定理求$AB$的长度：
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，由勾股定理$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}$。
已知$AC = 12$，$BC = 9$，则$AB=\sqrt{12^{2}+9^{2}}=\sqrt{144 + 81}=\sqrt{225}=15$。
2. 然后，连接$BE$：
因为$DE$是$AB$的垂直平分线，所以$AE = BE$（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）。
设$AE=x$，则$BE=x$，$EC=AC - AE=12 - x$。
3. 最后，在$Rt\triangle BCE$中，根据勾股定理列方程：
在$Rt\triangle BCE$中，$\angle C = 90^{\circ}$，由勾股定理$BE^{2}=BC^{2}+EC^{2}$。
把$BE = x$，$BC = 9$，$EC=12 - x$代入方程得：$x^{2}=9^{2}+(12 - x)^{2}$。
展开方程右边：$x^{2}=81+144-24x+x^{2}$。
移项：$x^{2}-x^{2}+24x=81 + 144$。
合并同类项：$24x=225$。
解得$x=\frac{225}{24}=\frac{75}{8}$。
所以$AE=\frac{75}{8}$，$EC=12-\frac{75}{8}=\frac{96 - 75}{8}=\frac{21}{8}$。
综上，$AE$的长为$\frac{75}{8}$，$EC$的长为$\frac{21}{8}$。
解：设$BD = x$，则$CD=11 - x$。
在$Rt\triangle ABD$中，根据勾股定理$AD^{2}=AB^{2}-BD^{2}$，即$AD^{2}=20^{2}-x^{2}$。
在$Rt\triangle ACD$中，根据勾股定理$AD^{2}=AC^{2}-CD^{2}$，即$AD^{2}=13^{2}-(11 - x)^{2}$。
所以$20^{2}-x^{2}=13^{2}-(11 - x)^{2}$
展开$13^{2}-(11 - x)^{2}$得：$169-(121 - 22x+x^{2})=169 - 121+22x - x^{2}=48+22x - x^{2}$
则原式$20^{2}-x^{2}=13^{2}-(11 - x)^{2}$=$400 - x^{2}=48+22x - x^{2}$
移项可得：$22x=400 - 48$
$22x = 352$
解得$x = 16$。
把$x = 16$代入$AD^{2}=20^{2}-x^{2}$，得$AD^{2}=20^{2}-16^{2}=(20 + 16)(20 - 16)=36×4 = 144$
所以$AD = 12$。
即点$A$到$BC$的距离为$12$。
解：设$BD = x$，则$CD=11 - x$。
在$Rt\triangle ABD$中，根据勾股定理$AD^{2}=AB^{2}-BD^{2}$，即$AD^{2}=20^{2}-x^{2}$。
在$Rt\triangle ACD$中，根据勾股定理$AD^{2}=AC^{2}-CD^{2}$，即$AD^{2}=13^{2}-(11 - x)^{2}$。
所以$20^{2}-x^{2}=13^{2}-(11 - x)^{2}$
展开$13^{2}-(11 - x)^{2}$得：$169-(121 - 22x+x^{2})=169 - 121+22x - x^{2}=48+22x - x^{2}$
则原式$20^{2}-x^{2}=13^{2}-(11 - x)^{2}$=$400 - x^{2}=48+22x - x^{2}$
移项可得：$22x=400 - 48$
$22x = 352$
解得$x = 16$。
把$x = 16$代入$AD^{2}=20^{2}-x^{2}$，得$AD^{2}=20^{2}-16^{2}=(20 + 16)(20 - 16)=36×4 = 144$
所以$AD = 12$。
即点$A$到$BC$的距离为$12$。
两个直角边为直径的半圆面积之和等于斜边为直径的半圆面积.
证明：设$Rt\triangle ABC$三边$BC=a$，$AC=b$，$AB=c$（$c$为斜边），由勾股定理，得$a^2+c^2=b^2$。以$BC$为直径的半圆面积$S_1=\frac{1}{2}\pi\left( \frac{a}{2} \right)^2=\frac{\pi a^2}{8}$；以$AC$为直径的半圆面积$S_2=\frac{1}{2}\pi\left( \frac{b}{2} \right)^2=\frac{\pi b^2}{8}$；以$AB$为直径的半圆面积$S_3=\frac{1}{2}\pi\left( \frac{c}{2} \right)^2=\frac{\pi c^2}{8}$，$S_1+S_3=\frac{\pi a^2}{8}+\frac{\pi c^2}{8}=\frac{\pi\left( a^2+c^2 \right)}{8}=S_2$，所以两个直角边为直径的半圆面积之和等于斜边为直径的半圆面积.
（2）
设$Rt\triangle ABC$的三边$BC = a$，$AC = b$，$AB = c$，根据勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$。
正三角形面积公式$S=\frac{\sqrt{3}}{4}m^{2}$（$m$为正三角形边长）。
以$BC$为边的正三角形面积$S_{1}=\frac{\sqrt{3}}{4}a^{2}$；以$AC$为边的正三角形面积$S_{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}b^{2}$；以$AB$为边的正三角形面积$S_{3}=\frac{\sqrt{3}}{4}c^{2}$。
则$S_{1}+S_{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}a^{2}+\frac{\sqrt{3}}{4}b^{2}=\frac{\sqrt{3}(a^{2}+b^{2})}{4}$，因为$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，所以$S_{1}+S_{2}=\frac{\sqrt{3}c^{2}}{4}=S_{3}$。
以$Rt\triangle ABC$三边为边的三个正三角形中，两个较小正三角形面积之和等于较大正三角形面积，即$S_{1}+S_{2}=S_{3}$。
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