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解：​$(1)$​阴影部分的面积为​$ a^2+6^2−\frac 12a^2−\frac 12(a+6)×6$​
​$=\frac 12a^2−3a+18.$​
​$(2)$​当​$a=4$​时，​$ \frac 12a^2−3a+18=\frac 12×42−3×4+18$​
​$=8−12+18=14.$​
解：​$(1)$​根据题意，得​$ m=30+5x， n=7x.$​
​$(2)$​把​$x=25$​代人​$，$​得​$m=30+5×25=30+125=155， n=7×25=175，$​
因为​$155＜175， $​所以选择活动一比较合算​$.$​
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