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解：
​$ (1)$​将​$x=-3$​代入方程​$(k+3)x + 2 = 3x - 2k，$​得
​$ (k+3)(-3) + 2 = 3(-3) - 2k$​
​$ -3k - 9 + 2 = -9 - 2k$​
​$ -3k - 7 = -9 - 2k$​
​$ $​解得​$k=2。$​

​$ (2)$​由​$(1)$​知​$k=2，$​则​$BC=2AC。$​设​$AC=x\,\text{cm}，$​则
​$BC=2x\,\text{cm}。$​
​$ ①$​当点​$C$​在线段​$AB$​上时，​$AC + BC = AB，$​即​$x + 2x = 6，$​解得​$x=2；$​
​$ ②$​当点​$C$​在​$BA$​的延长线上时，​$BC - AC = AB，$​即​$2x - x = 6，$​解得​$x=6。$​
综上，线段​$AC$​的长为​$2\,\text{cm}$​或​$6\,\text{cm}。$​
-9
12
解：​$(3)$​根据题意，得​$|9-3t-(-3-2t)|=4$​
解得​$t=8$​或​$t=16$​
所以点​$P_{出发}8$​秒或​$16$​秒后与点​$Q $​相距​$4$​个单位长度
​$(4)$​存在​$.$​若​$A$​是线段​$PQ $​的中点​$，$​则​$12-3t=2t，$​解得​$t=\frac {12}{5}$​
若​$Q $​是线段​$AP $​的中点，则​$2(3t-12)=2t，$​解得​$t=6$​
若​$P $​是线段​$AQ $​的中点，则​$3t-12=2×2t$​
解得​$t=-12($​不合题意，舍去)
综上，当的值为​$\frac {12}{5}$​或​$6$​时，​$A，P，Q $​这三个点中，
有一个点恰为另外两个点所连线段的中点
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