解:(1)由表格数据可知,二次函数$y = ax^2 + bx - 2$的图像过点$(-2,-2)$、$(1,1),$
则$\begin{cases}4a - 2b - 2 = -2 \\ a + b - 2 = 1\end{cases},$
解得$\begin{cases}a = 1 \\ b = 2\end{cases},$
所以二次函数的表达式为$y = x^2 + 2x - 2。$
(2)因为$y = x^2 + 2x - 2 = (x + 1)^2 - 3,$
所以顶点坐标为$(-1,-3)。$