解$：(1)$∵$OA=2，OC=6，$
∴$A(-2，0)、$$C(0，-6).$
∵抛物线$y=x²+bx +c $经过点$ A、$$C，$
∴$ \begin {cases}{4-2b+c=0}\\{c=-6}\end {cases}$
解得$ b=-1， c=-6$
∴抛物线对应的函数表达式为$y=x²-x-6$
$(3)$过点$E$作$EG⊥x$轴于点$G，$交直线$BC$于点$F.$
在$y=x²-x-6$中，令$y=0，$得$x=3$或$x=-2.$
∴$B(3，0).$
又∵$C(0，-6)，$
∴易求得直线$BC$对应的函数表达式为$y=2x-6.$
设点$E$的坐标为$(t，t²-t-6)，0＜t＜3，$则$F(t，2t-6).$
∴$ EF=(2t-6)-(t²-t-6)=-t²+3t.$
∴$S_{△BCE}=S_{△BEF}+S_{△CEF}=\frac {1}{2}×EF×BG+\frac {1}{2}×EF×OG$
$=\frac {1}{2}×EF×(BG+OG)=\frac {1}{2}×EF×OB$
$=\frac {1}{2}×(-t²+3t)×3=-\frac {3}{2}t²+\frac {9}{2}\ \mathrm {t}=-\frac {3}{2}(t-\frac {3}{2})²+\frac {27}{8}$
∵$ -\frac {3}{2}＜0，0＜t＜3，$
∴$ $当$t=\frac {3}{2}$时，$△BCE$的面积最大，面积的最大值为$\frac {27}{8}.$
此时点$E$的纵坐标为$t²-t-6=(\frac {3}{2})²-\frac {3}{2}-6=-\frac {21}{4}，$
即点$ E $的坐标为$ (\frac {3}{2}，$$-\frac {21}{4})$
$(4)$存在$，$点$ N $的坐标为$(2，$$0)$或$(-2，2 \sqrt {10})$或$(-2，-2 \sqrt {10})$或$(-2，-\frac {10}{3})$
