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证明： (1)
∵CA⊥AD，ED⊥AD，CB⊥BE，
∴∠A=∠CBE=∠D=90°，
∴∠C+∠CBA=90°，∠CBA+∠DBE=90°，
∴∠C=∠DBE，
∴△ABC∽△DEB；
(2)
∵△ABC∽△DEB，
∴$\frac{AC}{DB}=\frac{AB}{DE}，$
∵AB=8，AC=6，DE=4，
∴$\frac{6}{DB}=\frac{8}{4}，$解得BD=3。
证明：(1)
∵CD是边AB上的高，
∴∠ADC=∠CDB=90°，又
∵$\frac{AD}{CD}=\frac{CD}{BD}，$
∴△ACD∽△CBD；
(2)
∵△ACD∽△CBD，
∴∠A=∠BCD，在Rt△ACD中，∠A+∠ACD=90°，
∴∠BCD+∠ACD=90°，即∠ACB=90°。
证明： (1) 连接OC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，即∠1+∠2=90°，
∵OA=OC，
∴∠A=∠1，
∵∠BCD=∠A，
∴∠BCD=∠1，
∴∠BCD+∠2=90°，即∠OCD=90°，
∴OC⊥CD，
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
(2) 连接EC，
∵∠BCD=∠A，∠D=∠D，
∴△BCD∽△CAD，
∴$\frac{CD}{AD}=\frac{BC}{CA}=\frac{BD}{CD}，$
∵BD=2，CD=4，
∴AD=8，$\frac{BC}{CA}=\frac{1}{2}，$
∴AB=AD-BD=6，
设BC=a，则CA=2a，
在Rt△ACB中，$(2a)^2+a^2=6^2，$解得$a=\frac{6\sqrt{5}}{5}，$
∵E是$\overset{\frown}{AC}$的中点，
∴$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{CE}，$
∴∠3=∠4，
∵$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BC}，$
∴∠CEB=∠A，
∴△CEB∽△FAB，
∴$\frac{EB}{AB}=\frac{BC}{BF}，$
∴BF·BE=AB·BC=$6\times\frac{6\sqrt{5}}{5}=\frac{36\sqrt{5}}{5}，$
∵EH⊥AB，AB是直径，
∴AB垂直平分EH，
∴BE=BH，
∴BF·BH=$\frac{36\sqrt{5}}{5}。$
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