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解：（1）
∵二次函数y=x²+bx+c(b,c为常数)的图像与x轴交于A(-1,0)、B两点，对称轴为直线x=1，
∴$\begin{cases}1 - b + c=0\\-\frac{b}{2×1}=1\end{cases}，$解得$\begin{cases}b=-2\\c=-3\end{cases}.$
∴二次函数的表达式为y=x²-2x-3；
（2）存在.在y=x²-2x-3中，令x=0，得y=-3，
∴C(0,-3).
∵抛物线与x轴交于A(-1,0)、B两点，对称轴为直线x=1，
∴OA=1，B(3,0).
∴OB=OC=3.
∴∠OCB=∠OBC=45°.
当点P在直线BC上方时，如图①，记BP与y轴交于点K.
∵∠CBP+∠ACO=45°，∠OBP+∠CBP=∠OBC=45°，
∴∠OBP=∠ACO.
∵∠BOK=∠COA=90°，
∴△OBK∽△OCA.
∴$\frac{OK}{OA}$=$\frac{OB}{OC}.$
∴OK=1.
∴K(0,-1).
由点B、K的坐标，可得y_{BP}=$\frac{1}{3}$x-1.令$\frac{1}{3}$x-1=x²-2x-3，得x=3或-$\frac{2}{3}，$
∴P(-$\frac{2}{3}$,-$\frac{11}{9}$).
当点P在直线BC下方时，如图②，作点A关于y轴的对称点L，连接CL，则∠ACO=∠LCO，L(1,0).
∵∠CBP+∠ACO=45°，∠LCO+∠BCL=∠BCO=45°，
∴∠CBP=∠BCL.
∴BP∥CL.由C(0,-3)、L(1,0)，可得y_{CL}=3x-3.
∴可设直线y_{BP}=3x+n，将B(3,0)代入，得n=-9.
∴y_{BP}=3x-9.令3x-9=x²-2x-3，得x=3或x=2.
∴P(2,-3).
综上所述，点P的坐标为(-$\frac{2}{3}$,-$\frac{11}{9}$)或(2,-3)
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