解：$(2) $∵$ BC = 2m，$直角三角形木板的面积为$ 1.5\ \mathrm {m^2}，$
∴$ AC = 1.5m，$$AB = 2.5m。$
在题图③中，由$\triangle ADE\backsim \triangle ACB，$得$\frac {AD}{DE}=\frac {AC}{CB}=\frac {3}{4}，$
∴$ AD=\frac {3}{4}xm，$$DC = AC - AD=\frac {6 - 3x}{4}m。$
∴$ $矩形的面积$ y = DE× DC=x×\frac {6 - 3x}{4}=\frac {3}{4}x(2 - x)=-\frac {3}{4}(x - 1)^2+\frac {3}{4}。$
∴$ $当$ x = 1 $时，矩形的面积有最大值，为$\frac {3}{4}\mathrm {m^2}。$
在题图④中，由$\triangle DEC\backsim \triangle ABC，$得$\frac {DE}{DC}=\frac {AB}{AC}=\frac {5}{3}，$
∴$ DC=\frac {3}{5}xm，$$DA = AC - DC = (\frac {3}{2}-\frac {3}{5}x)m。$
由$\triangle ADG\backsim \triangle ABC，$得$\frac {DG}{DA}=\frac {BC}{BA}=\frac {4}{5}，$
∴$ DG=\frac {4}{5}DA=\frac {4}{5}(\frac {3}{2}-\frac {3}{5}x)m。$
∴$ $矩形的面积$ y = DE× DG=x×\frac {4}{5}(\frac {3}{2}-\frac {3}{5}x)=-\frac {12}{25}(x - \frac {5}{4})^2+\frac {3}{4}。$
∴$ $当$ x=\frac {5}{4} $时，矩形的面积有最大值，为$\frac {3}{4}\mathrm {m^2}。$
