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证明：​$(1)$​∵​$AB$​是​$⊙O$​的直径，
∴​$∠AEB=90°.$​
∴​$∠EAB+∠EBA=90°.$​
∵​$∠CBE=∠BDE，$​​$∠BDE=∠EAB，$​
∴​$∠EAB=∠CBE.$​
∴​$∠EBA+∠CBE=90°，$​即​$∠ABC=90°.$​
∴​$CB⊥AB.$​
∵​$AB$​是​$⊙O$​的直径，
∴​$BC$​是​$⊙O$​的切线；
​$(2)$​∵​$BD$​平分​$∠ABE，$​
∴​$∠DBA=∠DBE.$​
∵​$∠DAF=∠DBE，$​
∴​$∠DAF=∠DBA.$​
又∵​$∠FDA=∠ADB，$​
∴​$△ADF∽△BDA.$​
∴$\frac{AD}{BD}$=$\frac{DF}{DA}.$
∴​$AD²=DF·BD$​
解： （1）
∵A(3,$\frac{3}{2}$)是抛物线y=-x²+bx上的一点，
∴$\frac{3}{2}$=-3²+3b，解得b=$\frac{7}{2}.$
∴抛物线对应的函数表达式为y=-x²+$\frac{7}{2}$x；
（2）
∵y=-x²+$\frac{7}{2}$x=-(x-$\frac{7}{4}$)²+$\frac{49}{16}，$
∴抛物线最高点的坐标为($\frac{7}{4}$,$\frac{49}{16}$)；
（3）如图，过点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别是E、D，则易知C、B、D三点共线，∠BDO=∠AEO=90°.又
∵∠BOD=∠AOE，
∴△OBD∽△OAE.
∴$\frac{OD}{OE}$=$\frac{BD}{AE}$=$\frac{OB}{OA}.$
∵B是OA的三等分点，
∴$\frac{OB}{OA}$=$\frac{1}{3}.$
∴$\frac{OD}{OE}$=$\frac{BD}{AE}$=$\frac{1}{3}.$
∵A(3,$\frac{3}{2}$)，
∴AE=$\frac{3}{2}，$OE=3.
∴BD=$\frac{1}{2}，$OD=1.
∴点C的横坐标为1.将x=1代入y=-x²+$\frac{7}{2}$x，得y=$\frac{5}{2}.$
∴点C的坐标为(1,$\frac{5}{2}$).
∴CD=$\frac{5}{2}.$
∴CB=CD-BD=$\frac{5}{2}$-$\frac{1}{2}$=2.
∴这棵树的高度是2
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