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解：$ (1)$∵点$A(1，t)、$$B(2，t)$在该函数的图像上，二次函数$y=ax²+bx-2$的图像的

对称轴为直线$x=-\frac {b}{2a}，$

∴$2-(-\frac {b}{2a})=-\frac {b}{2a}-1.$

∴$-\frac {b}{2a}=\frac {3}{2}.$

∴$\frac {b}{a}=-3；$

$(2)①$∵$\frac {b}{a}=-3，$

∴$b=-3a.$

∴二次函数$y=ax²+bx-2$的最大值为$\frac {4a×(-2)-b²}{4a}=-\frac {8+9a}{4}.$

∵函数的最大值为$1-\frac {3}{4}a²，$

∴$a＜0，$且$-\frac {8+9a}{4}=1-\frac {3}{4}a²，$解得$a₁=-1，$$a₂=4($舍去$).$

∴该二次函数的表达式为$y=-x²+3x-2；$

②∵点$M(x₁，m)$在函数$y=-x²+3x-2$的图像上，

∴$m=-x₁²+3x₁-2.$

∴$\frac {(x₁-1)²}{m}=\frac {(x₁-1)²}{-x₁²+3x₁-2}=\frac {(x₁-1)²}{-(x₁-1)(x₁-2)}=\frac {x₁-1}{x₁-2}.$

由$ (1)$知，点$M(x₁，m)、$$N(x₂，m)$关于直线$x=\frac {3}{2}$对称$.$

不妨设$x₁＜x₂，$则$x₂-\frac {3}{2}=\frac {3}{2}-x₁，$

∴$x₂=3-x₁.$

∴$\frac {x₂-2}{x₁-2}=\frac {3-x₁-2}{x₁-2}=\frac {1-x₁}{x₁-2}=-\frac {x₁-1}{x₁-2}.$

∴$\frac {(x₁-1)²}{m}=\frac {x₂-2}{x₁-2}$

解：$ (1)$将$A(-2，0)、$$C(0，-2)$代入$y=x²+bx+c，$得

$\begin {cases}4-2b+c=0\\c =-2\end {cases}，$解得$\begin {cases}b=1\\c =-2\end {cases}.$

∴二次函数的表达式为$y=x²+x-2；$

$(2)$由题意，设$P(m，n).$

∵点$P $在第二象限，

∴$m＜0，$$n＞0.$

∵$△PDB$的面积是$△CDB$的面积的$2$倍，即$\frac {S_{\triangle PDB}}{S_{\triangle CDB}}=2，$

∴$\frac {\frac {1}{2}BD·n}{\frac {1}{2}BD·CO}=2.$

∴$\frac {n}{CO}=2.$

由$C(0，-2)，$得$CO=2，$

∴$n=2CO=4.$

∵$P(m，4)$是二次函数$y=x²+x-2$的图像上的点，

∴$m²+m-2=4，$解得$m₁=-3，$$m₂=2($不合题意，舍去).

∴点$P $的坐标为$(-3，4)$