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解：（1）直线$y=\frac{1}{2}x+2$与x轴交于A(-4,0)，与y轴交于C(0,2)。
∵抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2+bx+c$经过A、C两点，
∴$\begin{cases}0=-\frac{1}{2}\times16-4b+c\\2=c\end{cases}，$解得$\begin{cases}b=-\frac{3}{2}\\c=2\end{cases}，$
∴抛物线对应的函数表达式为$y=-\frac{1}{2}x^2-\frac{3}{2}x+2。$
（2）①过点D作DM⊥x轴，交AC于点M，过点B作BN⊥x轴，交AC于点N。

∵DM∥BN，
∴△DME∽△BNE。
∴$\frac{S_1}{S_2}=\frac{DM}{BN}。$
在$y=-\frac{1}{2}x^2-\frac{3}{2}x+2$中，令y=0，得B(1,0)，N(1,$\frac{5}{2}$)。
设D(a,$-\frac{1}{2}a^2-\frac{3}{2}a+2$)，则
M(a,$\frac{1}{2}a+2$)，$DM=-\frac{1}{2}a^2-2a，$$\frac{S_1}{S_2}=-\frac{1}{5}(a+2)^2+\frac{4}{5}，$最大值为$\frac{4}{5}。$
②存在，点D的横坐标为$-2$或$-\frac{29}{11}$
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