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2或4

解：$(1)$∵抛物线$y=a(x+1)^2-3$与$y$轴交于点$C(0，-\frac {8}{3})，$

∴$-\frac {8}{3}=a-3，$解得$a=\frac {1}{3}。$

∴抛物线对应的函数表达式为$y=\frac {1}{3}(x+1)^2-3。$

令$y=0，$则$\frac {1}{3}(x+1)^2-3=0，$解得$x_{1}=2，$$x_{2}=-4。$

∵点$A$在点$B$的左侧，

∴点$A$的坐标为$(-4，0)，$点$B$的坐标为$(2，0)$

$ (2)$根据题意，得$D(-1，-3)、$$H(-1，0)。$

∵$A(-4，0)、$$B(2，0)、$$C(0，-\frac {8}{3})，$

∴$OA=4，$$OB=2，$$OC=\frac {8}{3}，$$OH=1，$$DH=3。$

∴$AH=OA-OH=3。$

∴$S_{\text{四边形}ABCD}=S_{\triangle ADH}+S_{\text{梯形}OCDH}+S_{\triangle BOC}$

$=\frac {1}{2}×3×3+\frac {1}{2}×(\frac {8}{3}+3)×1+\frac {1}{2}×2×\frac {8}{3}=10$

$(1,4)$

解$：(1)$根据题意，可设平移后得到的新抛物线对应的函数表$ $达式为

$y=-(x-1)²+k.$

把$ (-1，0)$代入，得$0=-(-1- 1)²+k，$解得$k=4.$

∴平移后得到的新抛物线对应的函数表达$ $式为$y=-(x-1)²+4，$即

$y=-x²+2x+3$

$(2)$存在

∵四边形$OAPQ $为平行四边形，

∴$PQ=OA=1，$且$PQ//OA.$

设点$P $的坐标为$(t，-t²+2t+3)，$则点$Q $的坐标为$(t+1，-t²+2+3).$

把点$Q $的坐标代入$y=\frac {3}{2}x+\frac {3}{2}，$得$-t²+2t+3=\frac {3}{2}(t+1)+\frac {3}{2}.$

整理，得$2t²-t=0，$解得$t_{1}=0，$$t_{2}=\frac {1}{2}.$

当$t=0$时，$-t²+2t+3=3；$

当$t=\frac {1}{2}$时，$-t²+2t+3=\frac {15}{4}$

∴$ P_{1}(0，3)、$$Q_{1}(1，3)$或$P_{2}(\frac {1}{2}，$$\frac {15}{4})、$$Q_{2}(\frac {3}{2}，\frac {15}{4})$