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B
​$ y=a(x+\frac {k}{2a})^2+\frac {4ah-k^2}{4a}$​
x＜-1或x＞3
解：​$(1) $​把​$(1，0)$​代入​$y = x^2-ax + 5，$​得​$1 - a + 5 = 0，$​解得​$a = 6$​
​$(2) $​如图，由​$(1)$​知，​$y = x^2-6x + 5。$​
∵​$-\frac {-6}{2×1}=3，$​
∴对称轴为直线​$x = 3。$​
∵点​$A(0，t)$​在​$y$​轴上，​$BC// x$​轴，
∴可设​$B(s，t)。$​
∵​$B$​为线段​$AC$​的中点，
∴​$C(2s，t)。$​
由抛物线的对称性，得​$\frac {s + 2s}{2}=3，$​解得​$s = 2，$​
∴​$B(2，t)。$​
把点​$B$​的坐标代入​$y = x^2-6x + 5，$​得​$t=-3$​
-3≤m≤3且m≠1
解​$：(1)$​∵抛物线​$y=x²-2mx+m²+2m-1$​过点​$B(3，5)，$​
∴把​$B(3，5)$​代入​$y=x²-2mx+m²+2m-1.$​
整理，得​$m²-4m+3=0，$​
解得​$m=1，$​​$m_{2}=3.$​
当​$m=1$​时，​$y=x²-2x+2=(x-1)²+1，$​其顶点​$A$​的坐标为​$(1，1)；$​
当​$m=3$​时，​$y=x²-6x+14=(x-3)²+5，$​其顶点​$A$​的坐标为​$(3，5)$​
综上所述，顶点​$A$​的坐标为​$(1，1)$​或​$(3，5)$​
​$(2)$​∵​$y=x²-2mx+m²+2m-1=(x-m)²+2m-1，$​
∴顶点​$A$​的坐标为​$(m，2m-1).$​
由​$\begin {cases}{x=m}\\{y=2m-1}\end {cases}$​得​$y=2x-1.$​
∴​$y$​关于​$x$​的函数表达式为​$y=2x-1$​
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