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$y=2x^2-1$

$(3,12)$

解：$(1) $根据题意，可设抛物线对应的函数表达式为$y=a(x-1)^2+4。$

∵$ $抛物线经过点$(0，3)，$

∴$ 3=a(0-1)^2+4，$解得$a=-1。$

∴$ $抛物线对应的函数表达式为$y=-(x-1)^2+4。$

$ (2) $设新抛物线对应的函数表达式为$y=\frac {1}{3}x^2+bx+c。$

$ $将$A(0，-\frac {5}{3})、$$B(5，0)$代入，得

$ \begin {cases} c=-\frac {5}{3} \\\frac {1}{3}×5^2+5b+c=0 \end {cases}，$解得$\begin {cases} b=-\frac {4}{3}\\c=-\frac {5}{3} \end {cases}。$

∴$ $新抛物线对应的函数表达式为$y=\frac {1}{3}x^2-\frac {4}{3}x-\frac {5}{3}。$

$ (3) $根据题意，得顶点坐标为$(-4，30)，$

设抛物线对应的函数表达式为$y=a(x+4)^2+30。$

∵$ $抛物线经过点$(0，-2)，$

∴$ -2=a(0+4)^2+30，$解得$a=-2。$

∴$ $抛物线对应的函数表达式为$y=-2(x+4)^2+30。$

$(2,4)$