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$-\frac{3}{5}$
$y=-x^2+2x+3$
解​$：(1)$​在​$y=\frac {3}{4}x+6$​中，令​$x=0，$​则​$y=6；$​令​$y=0，$​则​$x=-8$​
∴​$A(-8，0)、$​​$B(0，6).$​
设​$c(m，\frac {3}{4}m+6)，$​
则抛物线​$M$​可表示为​$y=a(x-m)²+\frac {3}{4}m+6.$​
∵抛物线​$M$​经过点​$B，$​
∴​$am²+\frac {3}{4}m+6=6，$​且​$m≠0.$​
∴​$am=-\frac {3}{4}，$​即​$m=-\frac {3}{4a}.$​
将​$m=-\frac {3}{4a}$​代入​$y=a(x-m)²+\frac {3}{4}m+6，$​
整理，得​$y=ax²+\frac {3}{2}x+6，$​
∴​$b=\frac {3}{2}，c=6$​
$y=\frac{3}{16}(x-4\sqrt{2})^2$或$y=\frac{3}{16}(x+4\sqrt{2})^2$
解​$：(1)$​把​$C(0，-3)$​代入​$y=(x-1)²+k，$​得​$k=-4，$​
∴此抛​$ $​物线对应的函数表达式为​$y=(x-1)²-4，$​即​$y=x²-2x-3$​
​$(2)$​在​$y=x²-2x-3$​中，令​$y=0，$​则​$x=-1$​或​$x=3.$​
∴易得​$ A(-1，0)、$​​$B(3，0).$​
∴​$AB=4.$​
∵​$P $​为抛物线上一点，横坐标为​$m，m＞0，$​点​$P $​位于​$x$​轴的下方，
∴点​$P $​的坐标为​$(m，m²-2m-3)，0＜m＜3，$​
∴​$S_{△ABP}=\frac {1}{2}×AB×(-y_{p})=\frac {1}{2}×4×[-(m²-2m-3)]$​
​$=-2m²+4m+6=-2(m-1)²+8，0＜m＜3.$​
∵​$-2＜0，$​
∴当​$m=1$​时​$，S_{△ABP}$​取得最大值，最大值为​$8$​
​$(3)$​由​$y=(x-1)²-4，$​得抛物线的顶点坐标为​$(1，-4).$​
​$①$​当​$0＜m≤1$​时​$，h=-3-(m²-2m-3)=-m²+2m；$​
当​$1＜m≤2$​时，​$h=-3-(-4)=1；$​
当​$m＞2$​时，​$h=m²-2m-3-(-4)=m²-2m+1.$​
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