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-3＜x＜1
k≥3
m＜ -9
1≤n＜10
解：（1）∵抛物线的对称轴是直线$x=-1，$点$B$的坐标为
$(1,0)，$
∴点$A$的坐标为$(-3,0)$．
∴二次函数的表达式为$y=(x-1)(x+3)，$即$y=x^2+2x-3$
（2）连接$ON，$设$P(m,0)$（$-3＜m＜0$），则$N(m,m^2+2m-3)$．
在$y=x^2+2x-3$中，令$x=0，$得$y=-3$．
∴$C(0,-3)$．
∴$OC=3$．
∴$S_{四边形ABCN}=S_{\triangle AON}+S_{\triangle BOC}+S_{\triangle CON}=\frac{1}{2}\times3(-m^2-2m+3)+\frac{1}{2}\times1\times3+\frac{1}{2}\times3(-m)=-\frac{3}{2}m^2-\frac{9}{2}m+6=-\frac{3}{2}(m+\frac{3}{2})^2+\frac{75}{8}$．
∵$-\frac{3}{2}＜0，$$-3＜m＜0，$
∴当$m=-\frac{3}{2}$时，$S_{四边形ABCN}$取得最大值，为$\frac{75}{8}，$此时点$P$的坐标为$(-\frac{3}{2},0)$
解：（1）①当$b=4，$$c=3$时，$y=-x^2+4x+3=-(x-2)^2+7，$
∴函数图像的顶点坐标为$(2,7)$
②当$x=-1$时，$y=-(-1)^2+4\times(-1)+3=-2；$
当$x=3$时，$y=-3^2+4\times3+3=6$．
∵$-1＜0，$$-1\leq x\leq3，$
∴当$x=2$时，$y$取得最大值，为$7$．
∴当$-1\leq x\leq3$时，$-2\leq y\leq7$
（2）
∵当$x\leq0$时，$y$的最大值为$2；$当$x＞0$时，$y$的最大值为$3，$
∴该函数图像的对称轴（直线$x=\frac{b}{2}$）在$y$轴的右侧．
∴$b＞0$．由$a=-1，$得该函数图像开口向下，
∴$c=2，$$\frac{4\times(-1)\times c - b^2}{4\times(-1)}=3$．
∴$b=2$（负值舍去）．
∴二次函数的表达式为$y=-x^2+2x+2$
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