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$\frac{35}{3}$

解：$(1)$∵$AO = 17 \text{m}，$

∴$A(0，17)。$

∵$OC = 100 \text{m}，$缆索$L_{1}$的最低点$P $到$FF'$的距离$PD = 2 \text{m}，$

$BC = 17 \text{m}，$

∴易得抛物线$L_{1}$的顶点$P $的坐标为$(50，2)。$

∴可设缆索$L_{1}$所在抛物线对应的函数表达式为$y = a(x - 50)^2 + 2。$

将$A(0，17)$代入，得$2500a + 2 = 17，$解得$a = \frac {3}{500}。$

∴缆索$L_{1}$所在抛物线对应的函数表达式为$y = \frac {3}{500}(x - 50)^2 + 2。$

$ (2)$∵缆索$L_{1}$所在抛物线与缆索$L_{2}$所在抛物线关于$y$轴对称，

∴缆索$L_{2}$所在抛物线对应的函数表达式为$y = \frac {3}{500}(x + 50)^2 + 2。$

令$y = 2.6，$得$2.6 = \frac {3}{500}(x + 50)^2 + 2，$

解得$x_{1} = -40$或$x_{2} = -60。$

又∵$FO ＜ OD，$$OD = 50 \text{m}，$

∴$FO$的长为$40 \text{m}$

解：$(1) $∵$8 - 6 = 2 \text{m}，$

∴抛物线的顶点坐标为$(2，3)。$

设抛物线对应的函数表达式为$y = a(x - 2)^2 + 3。$

把$A(8，0)$代入，得$36a + 3 = 0，$解得$a = -\frac {1}{12}。$

∴抛物线对应的函数表达式为$y = -\frac {1}{12}(x - 2)^2 + 3。$

∵当$x = 0$时，$y = -\frac {1}{12}×4 + 3 = \frac {8}{3}，$$\frac {8}{3} ＞ 2.44，$

∴球不能射进球门。

$ (2)$设小明带球向正后方移动$m \text{m}，$则移动后抛物线对应的函

数表达式为$y = -\frac {1}{12}(x - 2 - m)^2 + 3。$

把$(0，2.25)$代入，得$2.25 = -\frac {1}{12}(0 - 2 - m)^2 + 3，$

解得$m_{1} = -5($不合题意，舍去），$m_{2} = 1。$

∴当时他应该带球向正后方移动$1 \text{m}$射门，才能让足球经过

点$O$正上方$2.25 \text{m}$处。