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解：​$(1)$​在​$y=-x^2-2x+3$​中，令​$y=0，$​得​$x=-3$​或​$1，$​
∴​$A(-3，0)、$​​$B(1，0)。$​令​$x=0，$​得​$y=3，$​
∴​$C(0，3)。$​
把​$A(-3，0)、$​​$C(0，3)$​代入​$y=x^2+bx+c $​中，得
​$\begin {cases} c=3 \\9-3b+c=0 \end {cases}，$​解得​$\begin {cases} b=4 \\c =3 \end {cases}，$​
∴​$b$​的值为​$4，$​​$c $​的值为​$3。$​
​$ (2)$​由​$(1)$​知，​$G_{2}$​对应的函数表达式为​$y=x^2+4x+3。$​
设​$P(t，0)(-3\leq t\leq 0)，$​则​$M(t，-t^2-2t+3)，$​​$N(t，t^2+4t+3)，$​
∴​$MN=-t^2-2t+3-(t^2+4t+3)=-2t^2-6t=-2(t+\frac {3}{2})^2+\frac {9}{2}。$​
∵​$-2＜0，$​
∴当​$t=-\frac {3}{2}$​时，​$MN$​的长取得最大值，​$MN$​长的最大值为​$\frac {9}{2}。$​
解：​$ (1)$​将​$A(-1，0)、$​​$C(0，5)$​代入​$y=-x^2+bx+c，$​得
​$\begin {cases} -1-b+c=0 \\c =5 \end {cases}，$​解得​$\begin {cases} b=4\\c=5 \end {cases}，$​
∴抛物线对应的函数表达式为​$y=-x^2+4x+5。$​
​$ (2)$​如图，过点​$P $​作​$PD\perp x$​轴于点​$D，$​交​$BC$​于点​$Q，$​作​$PH\perp BC$​于点​$H。$​
在​$y=-x^2+4x+5$​中，令​$y=0，$​得​$-x^2+4x+5=0，$​
解得​$x=5$​或​$x=-1，$​
∴​$B(5，0)。$​
∵​$C(0，5)，$​
∴​$OB=OC，$​
∴​$\triangle BOC$​是等腰直角三角形，
∴​$∠CBO=45^\circ 。$​
∵​$PD\perp x$​轴，
∴​$∠BQD=45^\circ =∠PQH，$​
∴​$\triangle PHQ $​是等腰直角三角形，
∴​$PQ=\sqrt {2}PH，$​
∴当​$PQ $​最长时，​$PH$​也最长。
设直线​$BC$​对应的函数表达式为​$y=kx+5，$​
将​$B(5，0)$​代入，得​$k=-1，$​
∴直线​$BC$​对应的函数表达式为​$y=-x+5。$​
设​$P(m，-\mathrm {m^2}+4m+5)(0＜m＜5)，$​则​$Q(m，-m+5)，$​
∴​$PQ=y_{P}-y_{Q}=(-\mathrm {m^2}+4m+5)-(-m+5)=-\mathrm {m^2}+5m$​
​$=-(m-\frac {5}{2})^2+\frac {25}{4}。$​
∵​$-1＜0，$​
∴当​$m=\frac {5}{2}$​时，​$PQ $​最长，为​$\frac {25}{4}，$​此时​$PH$​也最长，即点​$P $​到直线​$BC$​的距离最
大时，​$x_{P}=\frac {5}{2}，$​​$y_{P}=-(\frac {5}{2})^2+4×\frac {5}{2}+5=\frac {35}{4}，$​
∴​$P(\frac {5}{2}，\frac {35}{4})。$​
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