第31页 - 通城学典课时作业本九年级数学苏科版江苏专用

解：$(1)$把$A(-1，0)、$$C(0，-4)$代入$y=x^2+bx+c，$得

$\begin {cases} 1-b+c=0\\c =-4 \end {cases}，$解得$\begin {cases} b=-3\\c =-4 \end {cases}，$

∴抛物线对应的函数表达式为$y=x^2-3x-4。$

∵$y=x^2-3x-4=(x-\frac {3}{2})^2-\frac {25}{4}，$

∴抛物线顶点$D$的坐标为$(\frac {3}{2}，-\frac {25}{4})。$

$ (2)$在$y$轴上存在一点$M，$使得$\triangle BDM$的周长最小。

∵$B、$$D$是两个确定的点，

∴$BD$的长是定值，

∴要使$\triangle BDM$的周长最小，只需$DM+BM$最小即可。

如图，作点$D(\frac {3}{2}，-\frac {25}{4})$关于$y$轴的对称点$D'(-\frac {3}{2}，-\frac {25}{4})，$连接$BD'$交$y$轴

于点$M，$则$DM=D'M，$

∴$DM+BM=D'M+BM，$

∴当点$B、$$M、$$D'$共线时，$DM+BM{最小}。$

在$y=x^2-3x-4$中，令$y=0，$得$0=x^2-3x-4，$解得$x=4$或$x=-1，$

∴$B(4，0)。$

设直线$BD'$对应的函数表达式为$y=mx+n，$将点$B、$$D'$的坐标代入，得

$\begin {cases} 4m+n=0\\-\frac {3}{2}m+n=-\frac {25}{4} \end {cases}，$解得$\begin {cases}\ \mathrm {m}=\frac {25}{22}\\n =-\frac {50}{11} \end {cases}，$

∴直线$BD'$对应的函数表达式为$y=\frac {25}{22}x-\frac {50}{11}。$

令$x=0，$得$y=-\frac {50}{11}，$

∴点$M$的坐标为$(0，-\frac {50}{11})。$

解：$(1)$将$B(1，0)、$$C(0，3)$代入$y=-x^2+bx+c $中，得

$\begin {cases} -1+b+c=0\\c =3 \end {cases}，$解得$\begin {cases} b=-2\\c =3 \end {cases}，$

∴抛物线对应的函数表达式为$y=-x^2-2x+3。$

$ (2)$存在。

令$y=0，$则$0=-x^2-2x+3，$解得$x_{1}=-3，$$x_{2}=1，$

∴$A(-3，0)。$

由$A、$$C$两点的坐标，可得直线$AC$对应的函数表达式为$y=x+3。$

如图，过点$P $作$PE\perp x$轴于点$E，$交$AC$于点$F。$

设$P(m，-\mathrm {m^2}-2m+3)(-3＜m＜0)，$则$F(m，m+3)，$

∴$PF=y_{P}-y_{F}=(-\mathrm {m^2}-2m+3)-(m+3)=-\mathrm {m^2}-3m。$

∴$S_{\triangle APC}=S_{\triangle APF}+S_{\triangle CPF}=\frac {1}{2}PF·AE+\frac {1}{2}PF·OE$

$=\frac {1}{2}PF·OA=\frac {1}{2}(-\mathrm {m^2}-3m)×3=-\frac {3}{2}\mathrm {m^2}-\frac {9}{2}m=-\frac {3}{2}(m+\frac {3}{2})^2+\frac {27}{8}。$

∵$-\frac {3}{2}＜0，$$-3＜m＜0，$

∴当$m=-\frac {3}{2}$时，$S_{\triangle APC}$取得最大值，为$\frac {27}{8}，$且$-\mathrm {m^2}-2m+3=\frac {15}{4}，$即

此时点$P $的坐标为$(-\frac {3}{2}，\frac {15}{4})。$