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第43页

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$\frac{1}{2}$

解：$(1)\triangle ADE\sim \triangle ABC；$$\triangle EFC\sim \triangle ABC；$$\triangle ADE\sim \triangle EFC$

$ (2)$∵$DE// BC，$

∴$∠ADE=∠B。$

∵$∠ADE=∠EFC，$

∴$∠B=∠EFC。$

∴$AB// EF，$即$BD// EF。$

∴四边形$BDEF $为平行四边形。

∴$DE=BF。$

∵$DE// BC，$$AD：BD=5：3，$

∴$\frac {AD}{DB}=\frac {AE}{EC}=\frac {5}{3}。$

∵$AB// EF，$

∴$\frac {AE}{EC}=\frac {BF}{CF}=\frac {5}{3}。$

∵$CF=6，$

∴$BF=10。$

∴$DE=10$

解：过点$F_{作}FM\perp AB$于点$M，$$FN\perp AC$于点$N，$过点$D$作$DT// AE，$交$BC$

于点$T。$

∵$AE$平分$∠BAC，$$FM\perp AB，$$FN\perp AC，$

∴$FM=FN。$

∵$BF：FD=3：1，$

∴$S_{\triangle ABF}：S_{\triangle ADF}=3：1。$

∴$AB=3AD。$

∵$D$是$AC$的中点，

∴$AD=CD。$

∴$AB=\frac {3}{2}AC。$

∵$DT// AE，$

∴$\frac {AD}{CD}=\frac {ET}{CT}。$

∴$ET=CT。$

∵$DT// AE，$即$FE// DT，$

∴$BF：FD=BE：ET=3：1。$

∴$BE=\frac {3}{2}CE。$

∵$AB+BE=3\sqrt {3}，$

∴$\frac {3}{2}(AC+CE)=3\sqrt {3}。$

∴$AC+CE=2\sqrt {3}。$

∴$\triangle ABC$的周长为$AB+AC+BC=(AB+BE)+(AC+CE)$

$=3\sqrt {3}+2\sqrt {3}=5\sqrt {3}$