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第45页

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2√5+2

解：如图所示：

证明：$(1)$∵$ \widehat {CD}=\widehat {BD}，$

∴$ ∠CAD=∠DAB．$

∵$ DE=AD，$

∴$ ∠DAB=∠E．$

∴$ ∠CAD=∠E．$

又∵$ ∠C=∠C，$

∴$ △CAD∽△CEA；$

$(2)$连接$BD．$

∵$ AB$是$⊙O$的直径，

∴$ ∠ADB=90°．$

设$∠CAD=∠DAB=α，$则$∠EAC=2α．$

由$(1)$知$△CAD∽△CEA，$

∴$ ∠ADC=∠EAC=2α．$

∵$ $四边形$ABDC$是圆内接四边形，

∴$ ∠CAB+∠CDB=180°，$即$2α+2α+90°=180°，$

解得$α=22.5°．$

∴$ ∠ADC=2α=45°$

解：∵$ $四边形$ABCD$是矩形，

∴$ CD=AB=2，$$AD=BC=3，$$∠A=∠D=∠C=90°．$

∴$ ∠DEP+∠DPE=90°．$

∵$ P $为$CD$的中点，

∴$ DP=PC=\frac {1}{2}×2=1．$

由折叠知$EP=AE，$$∠EPH=∠A=90°，$$PG=AB=2．$

∴$ ∠DPE+∠CPH=90°．$

∴$ ∠DEP=∠CPH．$

∴$ △EDP∽△PCH．$

∴$ \frac {ED}{PC}=\frac {EP}{PH}．$

设$EP=AE=x，$则$ED=3−x．$

∵$ $在$Rt△EDP_{中}，$$EP²=ED²+DP²，$

∴$ x²=(3−x)²+1²，$解得$x=\frac {5}{3}．$

∴$ EP=AE=\frac {5}{3}，$$ED=\frac {4}{3}．$

∴$\frac {\frac {4}{3}}{1}=\frac {\frac {5}{3}}{PH}，$解得$PH=\frac {5}{4}．$

∴$ GH=PG−PH=2−\frac {5}{4}=\frac {3}{4}$