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$\frac{3}{2}$

证明：$ (1)$连接$OD、$$DB。$

∵$E$是线段$OB$的中点，$DE\perp AB，$

∴$DE$垂直平分$OB。$

∴$DB=OD。$

∵在$\odot O$中，$OD=OB，$

∴$DB=OD=OB。$

∴$\triangle ODB$是等边三角形。

∴$∠BDO=∠DBO=60^\circ 。$

∵$BC=OB=DB，$

∴$∠BCD=∠BDC=\frac {1}{2}∠DBO=30^\circ 。$

∴$∠ODC=∠BDO+∠BDC=90^\circ ，$即$OD\perp CD。$

∵$OD$是$\odot O$的半径，

∴$CD$是$\odot O$的切线。

$(2)$连接$OP。$

由题意，得$OP=OB=BC=2OE，$$OC=OB+BC。$

∴$\frac {OE}{OP}=\frac {OP}{OC}=\frac {1}{2}。$

又∵$∠POE=∠COP，$

∴$\triangle OEP\backsim \triangle OPC。$

∴$\frac {PE}{CP}=\frac {OP}{OC}=\frac {1}{2}$